|
В треугольнике ABC AB=9, BC=10, CA=5, Точка D лежит на прямой BC так, что BD:DC=3:5. окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC, ADB, касаются стороны AD в точках E, F. Найдите длину отрезка ЕF задан 19 Сен '12 21:53 
кто |
|
$% BD=3/8BC=15/4 . CD=5/8 BC=25/4.$%По теореме косинусов сначала найдите $%cosB,$% потом $%AD.$% Добавляю доказательство и рисунок. $%AF+AL=P_{ABD}-(BD+BL+BF),$% $%AF=AL, BL=BX, DF=DX =>2AF=P_{ABD}-2BD => AF=p_{ABD}-BD$% ($%P_{ABD}$%-периметр,а $%p_{ABD}$%-полупериметр).
отвечен 20 Сен '12 0:39 
ASailyan ASailyan, извините.. Ваш ответ не видела - очень долго перепроверяла эти точки (трудно без рисунка). Только, мне кажется, что Вы имели в виду "полупериметр минус BD" и "полупериметр минус CD".. ( и длина AD тогда и не нужна..) или я что-то не так поняла ?(( А вот второй вариант ( BD = 15 и CD = 25 ( а BC = 10) - наверное, там все-таки есть). Это С4 из какого-то ЕГЭ или из подготовки к ЕГЭ. Честно: решение я воспроизводила сама, но идея не моя - я видела эту задачу (может, с другими цифрами) в сети, на другом сайте.
(20 Сен '12 1:56)
ЛисаА
|
|
Скинуть рисунок не могу (нет "баллов уважения"=)). Поэтому так: W1 - окружность вписанная в треугольник ADC, и W2 - окр вписанная в ABD. Обозначим остальные точки касания: W1 со стороной AC - т.K, и W1 с BC- т.P ( и W1 c AD - по условию т.E ); W2 c AB - т.L, и W2 с CB - т.M (и W2 с AD - т.F по усл). Возможны 2 варианта расположения - точка D на отрезке BC, или на продолжении прямой CB ( за точку B) Ищем: FE = AF - AE. Отрезки касательных проведенных к окружности из одной точки - равны: AF = AL и AE = AK, т.е. $$FE = AL - AK = ( AB - BL) - (AC - CK) = AB - AC - BL + CK$$ Если точка D на стороне ( на отрезке) BC, то дальше так: BL = BM и CK = CP, т.е. FE = AB - AC - BM + CP = AB - AC - (BD - DM) + (CD - DP)= AB - AC - BD + CD +DM -DP; и DM = DF = DE - FE, а DP= DE; т.е. FE = AB - AC - BD + CD + DE - FE - DE ( т.е. DE "уходят"); тогда 2*FE = AB - AC - BD + CD. А если точка D на продолжении прямой CB, то: BL = BM и СK = CP, т.е. FE = AB - AC - BM + CP = AB - AC - (BD - DM) + (CD - DP), т.е. FE = AB - AC + (CD - BD) + DM - DP; и в этом случае CD - BD = BC; а DM = DF и DP = DE = DF + FE, т.е. FE = AB - AC + BC + DF - (DF + FE); т.е. здесь FE = AB - AC + BC - FE, т.е. в этом случае: 2*FE = AB - AC + BC. Вообще, можно то же самое получить почти сразу, если считать известным, что отрезки стороны от вершины до точки касания со вписанной окружностью = "полусумма сторон, содержащих эту вершину минус половина третьей стороны". (Но это, наверное, тоже надо доказывать...) Тогда, например, во втором случае (точка D на продолжении стороны): DE = (AD + CD - AC)/2 и DF = (AD + BD - AB)/2 - остается вычесть DE - DF. отвечен 20 Сен '12 1:22 
ЛисаА |
