Есть мнение, что у числа из 100 десятичных знаков (другими словами из 100 цифр) примерно $%10^{100}$% делителей. Так ли это на самом деле и как получается такая оценка?

задан 21 Ноя '15 21:42

изменен 21 Ноя '15 21:53

10|600 символов нужно символов осталось
2

Конечно, это в общем случае не так. Среди 100-значных чисел есть простые, и у них делителей всего 2. Можно ставить вопрос о "рекордном" значении, то есть о наибольшем числе делителей, которое может иметь какое-то удачно выбранное 100-значное число. На этот счёт получены асимптотические оценки, но они сравнительно сложные. Если мне память не изменяет, то логарифм количества делителей "очень большого" числа $%n$% может достигать значения порядка $$\ln2\cdot\frac{\ln n}{\ln\ln n},$$ и "рекордсменами" здесь будут произведения нескольких последовательных простых чисел, то есть $%2\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot p_m$%, не превосходящие $%n$%. Делителей у такого числа будет $%2^m$%.

Для чисел порядка $%10^{100}$% надо брать произведение первых $%53$% или $%54$% простых чисел. Количество делителей при этом составит примерно $%10^{16}$%, а большего значения уже не достичь.

ссылка

отвечен 21 Ноя '15 21:58

изменен 21 Ноя '15 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%n=p_1^{a_1}...p_s^{a_s} \Rightarrow \tau(n)=(a_1+1)...(a_s+1)$%

https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function#Approximate_growth_rate

оттуда:

$%\lim\sup\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln\tau(n)}{\frac{\ln n}{\ln\ln n}}=\ln 2$%

Т.е. $%\max\limits_{k\leqslant n}\tau(k)\approx 2^{\frac{\ln n}{\ln\ln n}}\approx 2^{\frac{230}{2,3}}\approx 2^{100}$% - как-то сильно не дотягивает до $%10^{100}$%, но порядок указан правдоподобный.

Можно максимум оценить поточнее, он достигается когда величины $%a_k \ln p_k$% примерно одинаковы. Надо?

ссылка

отвечен 21 Ноя '15 21:56

изменен 21 Ноя '15 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×680
×199
×29
×21
×18

задан
21 Ноя '15 21:42

показан
507 раз

обновлен
21 Ноя '15 22:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru