Помогите разобраться в разностных уравнениях.. y"внизу n+2"-10y"внизу n+1"+50у"внизу n"=-287n^2+235n-23

задан 22 Ноя '15 14:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$y_{n+2}-10y_{n+1}+50y_n=-287n^2+235n-23$$

Здесь нужно найти общее решение однородного уравнения через корни характеристического. Там получается $%\lambda^2-10\lambda+50=0$% с мнимыми корнями $%5\pm5i$%. Далее надо найти частное решение неоднородного уравнения. Если его искать в виде $%y_n=an^2+bn+c$% с неопределёнными коэффициентами, то после подстановки и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях $%n$% получаются значения коэффициентов для частного решения: $%y_n=-7n^2+3n-1$%.

Осталось сложить общее решение однородного уравнения с частным решением неоднородного, и получится общее решение уравнения из условия: $%y_n=C_1(5+5i)^n+C_2(5-5i)^n-7n^2+3n-1$%, где $%C_1$% и $%C_2$% -- произвольные константы.

ссылка

отвечен 22 Ноя '15 16:08

у меня при решении 2-го уравнения получилось:y=-5.74n^2+2.404n-0.2504

(24 Ноя '15 15:16) Анастасия17

@Анастасия17: ищите в своих вычислениях ошибку. Коэффициенты должны быть целыми. Я найденное решение отдельно проверял подстановкой, то есть оно верное. Если не сможете найти ошибку, тогда покажите вычисления, и я на неё в этом случае смогу указать.

(24 Ноя '15 17:54) falcao

2 уравнение я делала так: пусть yn=an^2+bn+c; yn+1=2an+b; yn+2=2a 2a-10(2an+b)+50(an^2+bn+c)=-287n^2+235n-23 2a-20an-10b+50an^2+50bn+50c=-287n^2+235n-23 2a-10b+50c-20an+50bn+50an^2=-287n^2+235n-23 система:50-287n^2 -20a+50b=235 2a-10b+50c=-23 ответ системы:a=-5.74 b=2.404 c=0.2504

(1 Дек '15 20:50) Анастасия17

@Анастасия17: ошибка в самом начале. У Вас вместо $%y_{n+1}$% почему-то написана производная $%y_n$% по переменной $%n$%. Это "вымысел". На самом деле, последовательность -- это частный случай функции, поэтому её значение в новой точке получается при помощи подстановки: $%n$% заменяется на $%n+1$% (в круглых скобках).

(1 Дек '15 21:02) falcao

Не совсем поняла как найти его в виде yn=an^2+bn+c

(4 Дек '15 16:53) Анастасия17

@Анастасия17: нужно принять во внимание простой факт, о котором я сказал выше. Есть общая формула $%y_n=an^2+bn+c$%. Значения чисел a, b, c мы пока не знаем. Она верна для всех натуральных чисел. В частности, $%y_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c$% по этой же формуле, и $%y_{n+2}=a(n+2)^2+b(n+2)+c$%. Теперь надо взять исходное уравнение, и заменить в нём "игреки" на то, чему они равны. Получится равенство (довольно громоздкое), где надо раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $%n$%. Получится система из трёх уравнений относительно a, b, c. Её решаем, и находим эти три числа.

(4 Дек '15 17:08) falcao

А вы не подскажете как можно представить y, если уравнение идёт со степенями как это: y_n+2-6y_n+1+9y_n=6 2^n-3 3^n

(6 Дек '15 14:12) Анастасия17

@Анастасия17: здесь можно отдельно решить задачу для $%6\cdot2^n$% в правой части, находя $%y_n$% в виде $%C\cdot2^n$% тем же способом. А для $%-3\cdot3^n$% в правой части полагаем $%y_n=Dn^23^n$%: тут особый случай, потому что 3 является корнем характеристического уравнения. Находим одно и другое, а потом складываем. В ответе должно получиться что-то типа $%6\cdot2^n-3^n\cdot n^2/6$%.

(6 Дек '15 14:26) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×9

задан
22 Ноя '15 14:12

показан
678 раз

обновлен
6 Дек '15 14:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru