Вычислите значения выражения ​x/y для каждого решения (x​​​,y​​​) системы и найдите среди них минимальное. система x^3+3y^3=11, x^2y+xy^2=6

задан 23 Ноя '15 2:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%(x+y)^3=x^3+y^3+3(x^2y+xy^2)=x^3+y^3+18=29-2y^3$%

$%xy(x+y)=6\Rightarrow x^3y^3(x+y)^3=216$%

$%(11-3y^3)y^3(29-2y^3)=216$%; делаем замену $%z=y^3$%.

Получается кубическое уравнение относительно $%z$% после раскрытия скобок в $%z(3z-11)(2z-29)-216=0$%. Это будет $%6z^3-109z^2+319z-216=0$%, где сразу просматривается корень $%z=1$% (сумма коэффициентов равна нулю). После деления на $%z-1$% получается разложение на множители $%(z-1)(6z^2-103z+216)=0$%, где квадратное уравнение имеет корни $%z=\frac{103\pm5\sqrt{217}}{12}$%.

Далее проверяем три случая. Одно решение имеет вид $%x=2$%, $%y=1$%, где отношение $%x/y$% равно $%2$%. В двух остальных случаях мы нашли $%y^3$%, и через него выражается $%x^3$%. Минимизация отношения $%x/y$% равносильна минимизации $%(x/y)^3$%, и можно сравнить соответствующие значения для иррациональных корней (сами они подходят).

Насколько я понимаю, минимум достигается, если взять $%y^3=\frac{103+5\sqrt{217}}{12}$%, и отношение там получается отрицательное. Но оно громоздкое, и в явном виде я его не выписывал.

ссылка

отвечен 23 Ноя '15 2:54

@falcao, я решал путём домножения уравнений на 6 и11 и делением потом на у^3. Получилось уравнение 6t^3-11t^2-11t+18=0 . t1 находится сразу - оно равно 2. Потом деление столбиком и t(наим)= (-1-sqrt(217))/12

(23 Ноя '15 3:08) epimkin

@falcao можно было проще: умножаем первое на 6 второе на 11 вычитаем второе из первого делаем замену $%x/y = t$% получаем кубическое уравнение $%(t - 2)(6{t^2} + t - 9) = 0$% далее сравниваем корни и выписываем ответ.

(23 Ноя '15 3:10) Vinster

@epimkin, @Vinster: это хороший приём (я его не рассматривал, решая "в лоб", и думая поначалу, что кроме (2;1) тут нет решений). Но преобразование не равносильное, поэтому нужно делать проверку соответствующих корней. Без этого решение не будет полным (скажем, то же рассуждение проходило бы для чисел 12 и 22 вместо 6 и 11).

(23 Ноя '15 9:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×830
×282
×8

задан
23 Ноя '15 2:19

показан
452 раза

обновлен
23 Ноя '15 9:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru