|
Условие: Пусть P (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)(4n + 1). Найдите наибольший общий делитель чисел P (1), P (2), ..., P (2015). Собственные мысли: я подставлял числа: 1;2;3;8;10. Р(1) = 120. Наибольший множитель этого числа, естественно, 120. Р(2) = 1890. Из множителей числа 120 подходит только множитель 30. Если дальше подставлять, также будет число делиться на 30 (это проверяю по двум признакам: 1) оканчивается число на "0"; 2) сумма цифр равна 3 или 6 или 9). Но как доказать, что аж до Р(2015) будут выполняться эти два свойства у чисел, то есть наибольший делитель будет только 30? Или у кого-то будет другое решение? задан 23 Ноя '15 19:40 
Вальдемар |
|
Есть известный (комбинаторный) факт: произведение $%m(m+1)...(m+k)$% всегда делится на $%(k+1)!$%. В Вашем случае можно доказать нечто похожее, после чего Вы получите искомое доказательство. отвечен 23 Ноя '15 20:30 
Trumba |
@Вальдемар: основную часть Вы уже сделали. Осталось проверить, что все эти числа делятся на 30, то есть на 2, на 3 и на 5. Первое совсем очевидно (уже для произведения n(n+1)). Второе верно для n(n+1)(2n+1), что видно из рассмотрения остатков от деления n на 3. Аналогично проверятся делимость на 5: берёте 5 случаев остатка, и смотрите, какой сомножитель делится на 5. Практически сразу очевидно, что он есть.