Условие: Пусть P (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)(4n + 1). Найдите наибольший общий делитель чисел P (1), P (2), ..., P (2015).

Собственные мысли: я подставлял числа: 1;2;3;8;10. Р(1) = 120. Наибольший множитель этого числа, естественно, 120. Р(2) = 1890. Из множителей числа 120 подходит только множитель 30. Если дальше подставлять, также будет число делиться на 30 (это проверяю по двум признакам: 1) оканчивается число на "0"; 2) сумма цифр равна 3 или 6 или 9).

Но как доказать, что аж до Р(2015) будут выполняться эти два свойства у чисел, то есть наибольший делитель будет только 30? Или у кого-то будет другое решение?

задан 23 Ноя '15 19:40

изменен 23 Ноя '15 19:41

@Вальдемар: основную часть Вы уже сделали. Осталось проверить, что все эти числа делятся на 30, то есть на 2, на 3 и на 5. Первое совсем очевидно (уже для произведения n(n+1)). Второе верно для n(n+1)(2n+1), что видно из рассмотрения остатков от деления n на 3. Аналогично проверятся делимость на 5: берёте 5 случаев остатка, и смотрите, какой сомножитель делится на 5. Практически сразу очевидно, что он есть.

(23 Ноя '15 23:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть известный (комбинаторный) факт: произведение $%m(m+1)...(m+k)$% всегда делится на $%(k+1)!$%. В Вашем случае можно доказать нечто похожее, после чего Вы получите искомое доказательство.

ссылка

отвечен 23 Ноя '15 20:30

изменен 23 Ноя '15 20:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,328
×737
×420

задан
23 Ноя '15 19:40

показан
877 раз

обновлен
23 Ноя '15 23:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru