|
$$\lim_{x\to 0}\frac{\ tg3x+tgx-sin2x}{\ sinx-sin5x}$$ Как найти данный предел? Из следствий второго замечательного предела можно считать, что sinx подобен tgx. Мне следует преобразовать все слагаемые в синусы? Или как его лучше сделать, чтобы прийти ко второй чудесной границе? задан 22 Сен '12 17:33 
Артем308
показано 5 из 15
показать еще 10
|
|
Воспользуйтесь формуламы $%tgx-tgy=\frac{sin(x-y)}{cosxcosy}$% и $%sinx-siny=2sin\frac{x-y}{2}cos\frac{x+y}{2}$%.И упростите выражение. $$\lim_{x\to 0}\frac{ tg3x+tgx-sin2x}{sinx-sin5x}=-\lim_{x\to 0}\frac{sin4x-sin2xcos3xcosx}{2sin2xcos^23xcosx}=$$ $$=-lim_{x\to 0}\frac{2sin2xcos2x-sin2xcos3xcosx}{2sin2xcos^23xcosx}=$$ $$=-lim_{x\to 0}(\frac{cos2x}{cos3xcosx}-\frac{1}{2cos3x})=-1+0,5=-0,5$$ отвечен 22 Сен '12 17:59 
ASailyan спасибо, готово) все получилось)
(22 Сен '12 18:24)
Артем308
|
|
$$\lim_{x\to 0}\frac{\ tg3x+tgx-sin2x}{\ sinx-sin5x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ 3x+x-2x}{\ x-5x}=lim_{x\to 0}\frac{\ 2x}{\ -4x}=....$$ отвечен 22 Сен '12 19:36 
Anatoliy Нет обоснования!
(22 Сен '12 21:27)
DocentI
Для Вас? Не стоит так опрометчиво судить о способностях этого молодого человека!
(23 Сен '12 0:00)
Anatoliy
О способностях я не сужу. Только об опыте решения задач.
(23 Сен '12 10:05)
DocentI
|
Первый раз встречаю, чтобы "замечательные пределы" называли "чудесными границами". Откуда такой странный термин?
"Граница" - это по украински предел. А заменять можно бесконечно малые множители на эквивалентные величины, а не слагаемые. Поэтому правильный ответ у ASailyan.
Методом @ASailyan получится то же самое, оба решения правильные. У @Anatoliy - разложение числителя и знаменателя в рад Тейлора - это наиболее универсальный и эффективный метод решения подобных задач.
Только @Anatoliy не объяснил, почему можно так действовать. А для новичка, каким является автор вопроса, это непонятно и может стать плохим примером. Начнет заменять на эквивалентные что попало! Надо хоть о-малое написать...
"А заменять можно бесконечно малые множители на эквивалентные величины, а не слагаемые"?
действительно украинский)) похоже, что переводили с русского- и "замечательный" перевели как "чудовий" - чудесный..)Только предел, наверное, все-таки 1-ый ))
@Артем308, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.
Нам давали такое правило: "Бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им величины", и сторого настрого запрещали заменять слагаемые на эквивалентные беск. малые.
А по украински граница звучит как "граныця" и произносится с "гэканьем".
@nadyalyutik : "Нам давали такое правило: "Бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им величины", и сторого настрого запрещали заменять слагаемые на эквивалентные беск. малые". Какое-то сомнительное правило. Вы можете привести пример, когда замена слагаемых некорректна? Во всяком случае, замена на эквивалентную степень (главный член в разложении Тейлора) всегда корректна.
DocentI, а как отметить его как принятый?
ВСе. нашел, спасибо большое! я наконец-то понял как это сделать!
@Андрей Юрьевич, нормальное правило для начинающих. Контрпримеры тоже даются, например, в разности $%tg x - sin x$% заменять на $%x - x$% нельзя, потому что получится 0, а он ничему не эквивалентен. Конечно, если главные части при такой замене не сокращаются, то заменять можно. Но ведь это надо знать, что такое "главная часть", как ее определять, надо уметь писать асимптотические равенства с о-малым. На первых порах студенты этого не умеют (а многие не умеют и на вторых )) ), так что лучше перестраховаться.
Формула Тейлора изучается гораздо позже.
Я просто не даю подобные примеры до изучения формулы Тейлора. И вообще, не даю раскрытие пределов до изучения производной. Само понятие предела, конечно, нужно определить до, но давать сложные примеры, не дав самый эффективный инструмент их решения, по-моему, бессмысленно.
Логично. Хотя показать пару примеров, "чтобы не думали, что служба - мед" - тоже методически неплохо.
Я вообще считаю, что ядром темы вычисления пределов является понятие эквивалентности, которое применяется гораздо шире. Например, при исследовании рядов и несобственных интегралов. Ужасно неудобно без нее выглядит исследование по предельному признаку сравнения, как фокус какой-то.
Но при замене на эквивалентные в сумме неплохо использовать все же асимптотические равенства, типа $%tg x = x + o(x)$%. Потому что замена на эквивалентные доказана только для сомножителей.