$$\lim_{x\to 0}\frac{\ tg3x+tgx-sin2x}{\ sinx-sin5x}$$

Как найти данный предел? Из следствий второго замечательного предела можно считать, что sinx подобен tgx. Мне следует преобразовать все слагаемые в синусы? Или как его лучше сделать, чтобы прийти ко второй чудесной границе?

задан 22 Сен '12 17:33

изменен 22 Сен '12 23:46

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Первый раз встречаю, чтобы "замечательные пределы" называли "чудесными границами". Откуда такой странный термин?

(22 Сен '12 18:23) Андрей Юрьевич
1

"Граница" - это по украински предел. А заменять можно бесконечно малые множители на эквивалентные величины, а не слагаемые. Поэтому правильный ответ у ASailyan.

(22 Сен '12 20:35) nadyalyutik

Методом @ASailyan получится то же самое, оба решения правильные. У @Anatoliy - разложение числителя и знаменателя в рад Тейлора - это наиболее универсальный и эффективный метод решения подобных задач.

(22 Сен '12 20:44) Андрей Юрьевич

Только @Anatoliy не объяснил, почему можно так действовать. А для новичка, каким является автор вопроса, это непонятно и может стать плохим примером. Начнет заменять на эквивалентные что попало! Надо хоть о-малое написать...

(22 Сен '12 21:26) DocentI

"А заменять можно бесконечно малые множители на эквивалентные величины, а не слагаемые"?

(22 Сен '12 21:37) Anatoliy

действительно украинский)) похоже, что переводили с русского- и "замечательный" перевели как "чудовий" - чудесный..)Только предел, наверное, все-таки 1-ый ))

(22 Сен '12 22:29) ЛисаА
1

@Артем308, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(22 Сен '12 23:46) DocentI

Нам давали такое правило: "Бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им величины", и сторого настрого запрещали заменять слагаемые на эквивалентные беск. малые.

(23 Сен '12 12:45) nadyalyutik

А по украински граница звучит как "граныця" и произносится с "гэканьем".

(23 Сен '12 12:49) nadyalyutik

@nadyalyutik : "Нам давали такое правило: "Бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные им величины", и сторого настрого запрещали заменять слагаемые на эквивалентные беск. малые". Какое-то сомнительное правило. Вы можете привести пример, когда замена слагаемых некорректна? Во всяком случае, замена на эквивалентную степень (главный член в разложении Тейлора) всегда корректна.

(23 Сен '12 15:37) Андрей Юрьевич

DocentI, а как отметить его как принятый?

(23 Сен '12 16:23) Артем308

ВСе. нашел, спасибо большое! я наконец-то понял как это сделать!

(23 Сен '12 16:30) Артем308
1

@Андрей Юрьевич, нормальное правило для начинающих. Контрпримеры тоже даются, например, в разности $%tg x - sin x$% заменять на $%x - x$% нельзя, потому что получится 0, а он ничему не эквивалентен. Конечно, если главные части при такой замене не сокращаются, то заменять можно. Но ведь это надо знать, что такое "главная часть", как ее определять, надо уметь писать асимптотические равенства с о-малым. На первых порах студенты этого не умеют (а многие не умеют и на вторых )) ), так что лучше перестраховаться.
Формула Тейлора изучается гораздо позже.

(23 Сен '12 17:20) DocentI

Я просто не даю подобные примеры до изучения формулы Тейлора. И вообще, не даю раскрытие пределов до изучения производной. Само понятие предела, конечно, нужно определить до, но давать сложные примеры, не дав самый эффективный инструмент их решения, по-моему, бессмысленно.

(23 Сен '12 19:18) Андрей Юрьевич

Логично. Хотя показать пару примеров, "чтобы не думали, что служба - мед" - тоже методически неплохо.
Я вообще считаю, что ядром темы вычисления пределов является понятие эквивалентности, которое применяется гораздо шире. Например, при исследовании рядов и несобственных интегралов. Ужасно неудобно без нее выглядит исследование по предельному признаку сравнения, как фокус какой-то.
Но при замене на эквивалентные в сумме неплохо использовать все же асимптотические равенства, типа $%tg x = x + o(x)$%. Потому что замена на эквивалентные доказана только для сомножителей.

(23 Сен '12 22:44) DocentI
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
2

Воспользуйтесь формуламы $%tgx-tgy=\frac{sin(x-y)}{cosxcosy}$% и $%sinx-siny=2sin\frac{x-y}{2}cos\frac{x+y}{2}$%.И упростите выражение. $$\lim_{x\to 0}\frac{ tg3x+tgx-sin2x}{sinx-sin5x}=-\lim_{x\to 0}\frac{sin4x-sin2xcos3xcosx}{2sin2xcos^23xcosx}=$$

$$=-lim_{x\to 0}\frac{2sin2xcos2x-sin2xcos3xcosx}{2sin2xcos^23xcosx}=$$

$$=-lim_{x\to 0}(\frac{cos2x}{cos3xcosx}-\frac{1}{2cos3x})=-1+0,5=-0,5$$

ссылка

отвечен 22 Сен '12 17:59

изменен 22 Сен '12 23:18

спасибо, готово) все получилось)

(22 Сен '12 18:24) Артем308
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ tg3x+tgx-sin2x}{\ sinx-sin5x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ 3x+x-2x}{\ x-5x}=lim_{x\to 0}\frac{\ 2x}{\ -4x}=....$$

ссылка

отвечен 22 Сен '12 19:36

Нет обоснования!

(22 Сен '12 21:27) DocentI

Для Вас? Не стоит так опрометчиво судить о способностях этого молодого человека!

(23 Сен '12 0:00) Anatoliy

О способностях я не сужу. Только об опыте решения задач.
Я слишком хорошо знаю, как рассуждают студенты.

(23 Сен '12 10:05) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×625
×375

задан
22 Сен '12 17:33

показан
1934 раза

обновлен
23 Сен '12 22:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru