Четырёхугольная призма $%PQRS P_{1} Q_{1} R_{1} S_{1}$%​​ с одинаковыми рёбрами, равными $%a$%, вписана в пирамиду $%SABC$% так, что точка $% S_{1}$% ​​ лежит на $%SA$%, точка $%P$% лежит на $%SB$%, точка $%R$% лежит на $%SC$%, точка $% Q_{1}$%​​ принадлежит плоскости $%ABC$%. Найдите ребро пирамиды $%SA$%, если известно, что $%SB = b$%, $%SC = c$%.

$%a = 5, b = 17, c = 14$%.

При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

задан 24 Ноя '15 19:49

изменен 25 Ноя '15 15:11

serg55's gravatar image


8.3k45209

10|600 символов нужно символов осталось
9

Если нарисовать рисунок - то задача становится не такой уж сложной.. ( только чтобы нарисовать - "замучиться" можно =))
alt text

Решение - рассматриваем сечение пирамиды плоскостью $%RQR_1$% и "доказываем", что сечением будет $%\Delta RDE$%, где $%RD\parallel SB$%, $%RE\parallel AS$% и $%DE\parallel AB$%. (@Антон Коваль, "правильные слова" - доказательства - допишите сами =)).

1) Треугольник $%RCD$% подобен треугольнику $%SCB$%, отсюда находим $%RD$%.
2) Треуг-к $%RED$% подобен треугольнику $%QQ_1D$%, отсюда получаем $%RE$%.
3) Треуг-к $%REC$% подобен треуг-ку $%SAC$%, находим $%SA$%.
Числа не досчитывала - но кажется, там что-то не очень хорошее получается ( с данными числами $%14$%, $%17$% и $%5$% пропорции будут не красивые.. ), наверное, оговорка про округление ответа - пригодится..

P.S. на рисунке есть и "лишнее" ( биссектриса $%SL$% не нужна, диагонали граней призмы ( диагонали ромбов ) - не нужны, отрезок $%AL$% не нужен.. ); пусть будет просто так - "для красоты" =))

ссылка

отвечен 26 Ноя '15 17:34

изменен 26 Ноя '15 17:38

Странно.. я почему-то отвечаю не от своего имени, а от "сообщества ХэшКод"..

(26 Ноя '15 17:36) ЛисаА

вот это чертеж! )) тут пока додумаешься как начертить - уже потратишь времени не мало. но задачка интересная.

(29 Ноя '15 22:30) Антон Коваль
1

@ЛисаА: Хоть и написано ХэшКод, но по рисунку сразу понятно, что решение Вы предоставили :))

(29 Ноя '15 22:39) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
4

"Аффинно-координатное" решение нетрудно исправить.
На "школьном" уровне можно доказать, что если плоскость, проведенная через вершину М призмы с боковым ребром а, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами b и c, пересекает продолжения рёбер, выходящих из противоположной вершины P, в точках A, B и C, как показано на рисунке, то $$\frac{a}{PA}+\frac{b}{PB}+\frac{c}{PC}=1.$$ Для этого достаточно заметить, что $$\frac{a}{PA}=\frac{A_1 M}{A_1 A}=\frac{S_1}{S_1+S_2+S_3}$$ (обозначения, наверное, ясны из рисунка). Аналогично, $$\frac{b}{PB}=\frac{S_2}{S_1+S_2+S_3}, \; \frac{c}{PC}=\frac{S_3}{S_1+S_2+S_3},$$ откуда следует требуемое равенство (которое даже не нужно называть аффинным уравнением плоскости).

Применяя это утверждение к данной задаче, получаем равенство $$\frac{S S_1}{SA}+\frac{SP}{SB}+\frac{SR}{SC}=1,$$ приведенное в упомянутом рассуждении, из которого всё вычисляется. alt text

ссылка

отвечен 30 Ноя '15 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
-2

Эта задача решена здесь.

ссылка

отвечен 26 Ноя '15 18:31

1

@armez, там координатное решение - что тоже неплохо, наверное.. но я выкручивалась без координат - и тоже хорошо решается =) Кстати, в решении по ссылке странная первая фраза: "данная призма является КУБОМ" - ?? Почему это ? Все грани призмы - ромбы, это да, но нигде не говорится, что будут углы по $%90^0$%.. призма же может быть наклонной.. ( и "основания" ( то, что считаем основаниями ) - не обязательно квадраты.. ) Правда, можно также говорить и об аффинной системе координат ( но это уже не для школьников.. или не для всех школьников, наверное =))

(27 Ноя '15 1:33) ЛисаА
1

@ЛисаА: я тоже не знаю, откуда там взяли что-то про куб. Вообще-то, к такого рода решениям, да ещё на сайтах "общего" типа, я отношусь без особого доверия.

(27 Ноя '15 1:38) falcao

@falcao, да, там просто ромбы, а не квадраты ( кстати, ВСЕ грани призмы - ромбы.. ( а не только "боковые грани".. я оговорилась - уже исправила.. )) Я не уверена, что у них "неверно" ( толком не смотрела ), может, все там правильно ( в аффинной системе координат тоже решать ведь можно ).. Но мне "понятней" так, как я сделала =))

(27 Ноя '15 1:44) ЛисаА

@ЛисаА: я обычно дальше первой неверной фразы не читаю (если это не опечатки), а если решение технически сложной задачи состоит из нескольких фраз, то это не решение.

(27 Ноя '15 2:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×524
×134
×90
×34

задан
24 Ноя '15 19:49

показан
2758 раз

обновлен
30 Ноя '15 0:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru