|
Сколько решений в целых числах имеет уравнение: √x+√y=√N , если N=2205 ? задан 24 Ноя '15 20:16 
Даниил Ребянин |
|
Заметим, что $%2205=21^2\cdot5$%. Если записать уравнение в виде $%\sqrt{x}=21\sqrt5-\sqrt{y}$%, то после возведения в квадрат получится $%x=2205+y-42\sqrt{5y}$%. Отсюда понятно, что $%y=5z^2$% для некоторого неотрицательного $%z$%. Следовательно, $%\sqrt{x}=(21-z)\sqrt5$%, то есть $%x=5(21-z)^2$%. Понятно, что $%z$% принимает все целые значения от $%0$% до $%21$% включительно, то есть количество решений равно $%22$%. отвечен 24 Ноя '15 22:01 
falcao Боже, как же вы так легко это заметили? Что 2205^2 = 21^2 * 5? Как следует рассуждать, чтобы это увидеть? И как понять, что именно это разложение нам пригодится? Как прийти к такому выводу?
(24 Ноя '15 22:04)
Даниил Ребянин
@Даниил Ребянин: в таких случаях полезно разложить число на множители. Ясно, что оно кратно 5, и имеет смысл поделить на 5. Это делается устно: умножаем на 2 и списываем 0 в конце. Получается 441, а это $%21^2$%. Квадраты натуральных чисел (хотя бы в пределах 32) рекомендуется помнить, так как это очень часто помогает в самых разных задачах, и даже в подсчётах на базаре :) Даже если этого не помнить, видно, что 441 делится на 9 по сумме цифр, а 9 -- это квадрат. После деления получается совсем знакомое число 49. Вынесение полного квадрата из-под корня полезно почти всегда.
(24 Ноя '15 22:28)
falcao
ага вынесение полного квадрата. буду теперь чаще это пробовать просто мало опыта видимо в таких задачах) спасибо ))
(24 Ноя '15 22:48)
Даниил Ребянин
|