Сколько решений в целых числах имеет уравнение:

√​x​​​+√​y​​​=√​N​​​ , если N=2205 ?

задан 24 Ноя '15 20:16

10|600 символов нужно символов осталось
2

Заметим, что $%2205=21^2\cdot5$%. Если записать уравнение в виде $%\sqrt{x}=21\sqrt5-\sqrt{y}$%, то после возведения в квадрат получится $%x=2205+y-42\sqrt{5y}$%. Отсюда понятно, что $%y=5z^2$% для некоторого неотрицательного $%z$%. Следовательно, $%\sqrt{x}=(21-z)\sqrt5$%, то есть $%x=5(21-z)^2$%. Понятно, что $%z$% принимает все целые значения от $%0$% до $%21$% включительно, то есть количество решений равно $%22$%.

ссылка

отвечен 24 Ноя '15 22:01

Боже, как же вы так легко это заметили? Что 2205^2 = 21^2 * 5? Как следует рассуждать, чтобы это увидеть? И как понять, что именно это разложение нам пригодится? Как прийти к такому выводу?

(24 Ноя '15 22:04) Даниил Ребянин

@Даниил Ребянин: в таких случаях полезно разложить число на множители. Ясно, что оно кратно 5, и имеет смысл поделить на 5. Это делается устно: умножаем на 2 и списываем 0 в конце. Получается 441, а это $%21^2$%. Квадраты натуральных чисел (хотя бы в пределах 32) рекомендуется помнить, так как это очень часто помогает в самых разных задачах, и даже в подсчётах на базаре :) Даже если этого не помнить, видно, что 441 делится на 9 по сумме цифр, а 9 -- это квадрат. После деления получается совсем знакомое число 49.

Вынесение полного квадрата из-под корня полезно почти всегда.

(24 Ноя '15 22:28) falcao

ага вынесение полного квадрата. буду теперь чаще это пробовать просто мало опыта видимо в таких задачах) спасибо ))

(24 Ноя '15 22:48) Даниил Ребянин
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,123
×851
×141
×54

задан
24 Ноя '15 20:16

показан
1160 раз

обновлен
25 Ноя '15 9:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru