Доказать, что $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{d^2}\ge\frac4{e^2}+\frac4{f^2},$$ где $%a,b,c,d$% - стороны вписанного в окружность четырёхугольника, $%e,f$% - диагонали.

задан 25 Ноя '15 14:39

изменен 25 Ноя '15 19:29

EdwardTurJ's gravatar image


50894185

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай в вписанном четырёхугольнике стороны идут в последовательности $%a,b,c$% и $%d$%. По теореме Птолемея $$ef=ac+bd\text{ и }\frac ef=\frac{ad+bc}{ab+cd},$$ отсюда $$e^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}\text{ и }f^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}.$$ Имеем: $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{d^2}-\frac4{e^2}-\frac4{f^2}=\\=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{d^2}-\frac{4(ab+cd)}{(ac+bd)(ad+bc)}-\frac{4(ad+bc)}{(ac+bd)(ab+cd)}=\\=\frac{a^3b^3cd(ac-bd)^2+a^3bcd^3(ab-cd)^2+ab^3c^3d(ab-cd)^2+abc^3d^3(ac-bd)^2}{a^2b^2c^2d^2(ad+bc)(ac+bd)(ab+cd)}+\\+\frac{a^3b^3cd(c^2-d^2)^2+abc^3d^3(a^2-b^2)^2+2a^2b^2c^2d^2(ac-bd)^2}{a^2b^2c^2d^2(ad+bc)(ac+bd)(ab+cd)}+\\+\frac{a^4b^4c^4+a^4b^4d^4+a^4c^4d^4+b^4c^4d^4-4a^3b^3c^3d^3}{a^2b^2c^2d^2(ad+bc)(ac+bd)(ab+cd)}\ge0.$$

ссылка

отвечен 25 Ноя '15 16:43

изменен 25 Ноя '15 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,927
×240
×15

задан
25 Ноя '15 14:39

показан
492 раза

обновлен
25 Ноя '15 19:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru