Увидел в списке дополнительных задач вот такую:

$$\lim_{x \rightarrow o} \frac{1-cos10x}{ e ^{x ^{2} } - 1 }$$

Считается задачей повышенного уровня, наверное, т.к. $%e$% стоит в степени $%x^2$%. Какой спецметод нужен для решения данного задания?

задан 23 Сен '12 18:03

изменен 23 Сен '12 20:03

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

@Артем308, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(23 Сен '12 18:13) ХэшКод

\lim_{x \rightarrow o} (1-cos10x)/ ( e ^{x ^{2} } - 1 )

(23 Сен '12 18:20) Артем308

Не работает что-то формула.

(23 Сен '12 18:21) Артем308

Не расстраивайтесь.

(23 Сен '12 19:10) Галактион

@Артем308 Чтобы формула работала, нужно добавить знаки $$ в начало и конец формулы.

(23 Сен '12 20:03) ХэшКод
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\lim_{x \rightarrow o} \frac{1-cos10x}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{2sin^2(5x)}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{2(5x)^2}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{50x^2}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=50.$$

ссылка

отвечен 23 Сен '12 19:40

изменен 23 Сен '12 19:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуйтесь известными пределамы

  1. $%\lim_{x \rightarrow o}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$%
  2. $%\lim_{x \rightarrow o}\frac{e ^x - 1}{x}=1 $%

Надо левый часть преобразовать таким образом $%\frac{1-cos10x}{(10x)^2}\cdot\frac{100}{\large \frac{e^{x^2} - 1}{x^2}}$%

ссылка

отвечен 23 Сен '12 19:29

изменен 23 Сен '12 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
1

Не буду настаивать на следующем:

$%\begin {cases} cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \ ... \\ \\ e^z = 1 + z + \ ... \end {cases} \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(10x)}{\mathrm{exp}(x^2) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - (10x)^2/2! + \ ...)}{1 + x^2 + \ ... \ - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{100x^2}{2x^2} = 50$%

ссылка

отвечен 23 Сен '12 20:50

изменен 24 Сен '12 0:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне всегда больше нравилось пользоваться понятием эквивалентных функций. Оно не требует дополнительных (и неочевидных) преобразований выражения. Я даю студентам эквивалентность сразу, как начинаем изучать пределы.
В частности, формулы из ответа @ASailyan можно записать так: $%1-\cos x \sim {x^2\over 2} $% и $%e^x - 1\sim x$%, все, конечно, при $%x\to 0$%. Легко доказать, что сомножители можно заменять на эквивалентные им функции, от этого предел не изменится. В заданном примере имеем $$\lim_{x\to 0}{1-\cos 10x\over e^{x^2}-1}= \lim_{x\to 0}{(10x)^2/2\over {x^2}}$$ Формулы можно применять, так как и $%10x$% и $%x^2$% стремятся к 0.

ссылка

отвечен 23 Сен '12 22:35

изменен 23 Сен '12 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

А можно просто дважды пролопиталить.

ссылка

отвечен 25 Сен '12 2:00

А я - нет. Несколько лет назад одна студентка меня спросила "Зачем же мы столько времени занимались ерундой, если есть такой хороший способ решения этих задач". И я подумал "А правда, зачем?". И с тех пор даю только Лопиталя и Тейлора. И показываю, что это, по сути, одно и то же. Т.е. способ решения единственный.

(25 Сен '12 2:23) Андрей Юрьевич

И как они у Вас ряды исследуют?

Все же надо показать, откуда берется сама производная. Иначе получается порочный круг в доказательстве. Конечно, для получения ответа можно об этом не думать (раз уже доказано до нас), но для воспитания математиков это важно. Хотя, конечно, без фанатизма.

У меня, конечно, не "чистые" математики (ВМК), но все же я стараюсь привить им разные математические навыки.

(25 Сен '12 8:57) DocentI

Нет, никакого порочного круга не получается. Конечно, производная - это предел, и дать определение производной можно только после определения предела. Да, для вывода производных от элементарных функций нужно раскрывать неопределенность без производных (для этого нужны 1-й и 2-й замечательные пределы). Но этим можно ограничиться, а все задачи на сложные пределы перенести на будущее, когда производная уже определена. Никаких проблем не возникло, даже программу менять не потребовалось - только часть заданий перенести из одной темы в другую.

(25 Сен '12 18:43) Андрей Юрьевич

Совершенно верно, например $%\lim _{ x\rightarrow 0}{\frac { {tg }^{2}x-sin{ x }^{ 2 }}{{ x }^{4}}}$%.

(25 Сен '12 19:59) Anatoliy

@Андрей Юрьевич, Пожалуй, воспользуюсь этой идеей. Особенно у вечерников: часов там мало, и уровень студентов низкий. Все равно не научатся пределы брать.

А у дневников перенесу акцент на задачи выделения главной части.

Кстати, сегодня давала условный экстремум и задумалась: а так ли нужен метод множителей Лагранжа? При одном условии на 2 переменные нет никакой необходимости вводить еще и лямбда. Думаю, на мне так сказалась наша дискуссия ))) Тем более, что у нас сократили часы, да и Универсиада на носу (((

(25 Сен '12 21:53) DocentI

Меня тоже посещали такие сомнения, но я все-таки решил метод Лагранжа не трогать, т.к. это мощный и универсальный метод для численного решения задач. Пусть знают, в чем он заключается.

(26 Сен '12 23:40) Андрей Юрьевич

Нет, на лекциях его дают, да и на практике я его упоминаю, показываю. Просто раньше я все решала этим методом. А зачем?

(26 Сен '12 23:47) DocentI

Да, если одна переменная легко выражается через другую, то можно решить проще.

(26 Сен '12 23:50) Андрей Юрьевич

Ну, это тривиально. Я имею в виду, что можно просто продифференцировать условие и получить производную заданной функции в силу условия. Тут уже места нет, может открыть новую тему для обсуждения методических вопросов? Попробую ее сформулировать.

(26 Сен '12 23:54) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×755
×520
×316
×13

задан
23 Сен '12 18:03

показан
1572 раза

обновлен
26 Сен '12 23:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru