|
Увидел в списке дополнительных задач вот такую: $$\lim_{x \rightarrow o} \frac{1-cos10x}{ e ^{x ^{2} } - 1 }$$ Считается задачей повышенного уровня, наверное, т.к. $%e$% стоит в степени $%x^2$%. Какой спецметод нужен для решения данного задания? задан 23 Сен '12 18:03 
Артем308 |
|
$$\lim_{x \rightarrow o} \frac{1-cos10x}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{2sin^2(5x)}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{2(5x)^2}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=\lim_{x \rightarrow o} \frac{50x^2}{ e ^{x ^{2} } - 1 }=50.$$ отвечен 23 Сен '12 19:40 
Anatoliy |
|
Воспользуйтесь известными пределамы
Надо левый часть преобразовать таким образом $%\frac{1-cos10x}{(10x)^2}\cdot\frac{100}{\large \frac{e^{x^2} - 1}{x^2}}$% отвечен 23 Сен '12 19:29 
ASailyan |
|
Не буду настаивать на следующем: $%\begin {cases} cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \ ... \\ \\ e^z = 1 + z + \ ... \end {cases} \rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(10x)}{\mathrm{exp}(x^2) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - (10x)^2/2! + \ ...)}{1 + x^2 + \ ... \ - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{100x^2}{2x^2} = 50$% отвечен 23 Сен '12 20:50 
Галактион |
|
Мне всегда больше нравилось пользоваться понятием эквивалентных функций. Оно не требует дополнительных (и неочевидных) преобразований выражения. Я даю студентам эквивалентность сразу, как начинаем изучать пределы. отвечен 23 Сен '12 22:35 
DocentI |
|
А можно просто дважды пролопиталить. отвечен 25 Сен '12 2:00 
Андрей Юрьевич А я - нет. Несколько лет назад одна студентка меня спросила "Зачем же мы столько времени занимались ерундой, если есть такой хороший способ решения этих задач". И я подумал "А правда, зачем?". И с тех пор даю только Лопиталя и Тейлора. И показываю, что это, по сути, одно и то же. Т.е. способ решения единственный.
(25 Сен '12 2:23)
Андрей Юрьевич
И как они у Вас ряды исследуют? Все же надо показать, откуда берется сама производная. Иначе получается порочный круг в доказательстве. Конечно, для получения ответа можно об этом не думать (раз уже доказано до нас), но для воспитания математиков это важно. Хотя, конечно, без фанатизма. У меня, конечно, не "чистые" математики (ВМК), но все же я стараюсь привить им разные математические навыки.
(25 Сен '12 8:57)
DocentI
Нет, никакого порочного круга не получается. Конечно, производная - это предел, и дать определение производной можно только после определения предела. Да, для вывода производных от элементарных функций нужно раскрывать неопределенность без производных (для этого нужны 1-й и 2-й замечательные пределы). Но этим можно ограничиться, а все задачи на сложные пределы перенести на будущее, когда производная уже определена. Никаких проблем не возникло, даже программу менять не потребовалось - только часть заданий перенести из одной темы в другую.
(25 Сен '12 18:43)
Андрей Юрьевич
Совершенно верно, например $%\lim _{ x\rightarrow 0}{\frac { {tg }^{2}x-sin{ x }^{ 2 }}{{ x }^{4}}}$%.
(25 Сен '12 19:59)
Anatoliy
@Андрей Юрьевич, Пожалуй, воспользуюсь этой идеей. Особенно у вечерников: часов там мало, и уровень студентов низкий. Все равно не научатся пределы брать. А у дневников перенесу акцент на задачи выделения главной части. Кстати, сегодня давала условный экстремум и задумалась: а так ли нужен метод множителей Лагранжа? При одном условии на 2 переменные нет никакой необходимости вводить еще и лямбда. Думаю, на мне так сказалась наша дискуссия ))) Тем более, что у нас сократили часы, да и Универсиада на носу (((
(25 Сен '12 21:53)
DocentI
Меня тоже посещали такие сомнения, но я все-таки решил метод Лагранжа не трогать, т.к. это мощный и универсальный метод для численного решения задач. Пусть знают, в чем он заключается.
(26 Сен '12 23:40)
Андрей Юрьевич
Нет, на лекциях его дают, да и на практике я его упоминаю, показываю. Просто раньше я все решала этим методом. А зачем?
(26 Сен '12 23:47)
DocentI
Да, если одна переменная легко выражается через другую, то можно решить проще.
(26 Сен '12 23:50)
Андрей Юрьевич
Ну, это тривиально. Я имею в виду, что можно просто продифференцировать условие и получить производную заданной функции в силу условия. Тут уже места нет, может открыть новую тему для обсуждения методических вопросов? Попробую ее сформулировать.
(26 Сен '12 23:54)
DocentI
показано 5 из 9
показать еще 4
|
@Артем308, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.
\lim_{x \rightarrow o} (1-cos10x)/ ( e ^{x ^{2} } - 1 )
Не работает что-то формула.
Не расстраивайтесь.
@Артем308 Чтобы формула работала, нужно добавить знаки $$ в начало и конец формулы.