|
Есть проблема, сводящаяся к следующему: допустим, есть куб с центром в начале координат(не ориентированный по осям, вообще говоря) и даны координаты двух его не противоположных друг другу вершин. Как тогда найти координаты остальных его вершин? У меня чувство, что все не так и сложно, но я что-то упускаю. задан 24 Сен '12 16:14 
Occama |
|
Рассмотрю только случай, когда точки являются соседними вершинами. Пусть они задаются векторами $%\overrightarrow{a}$% и $%\overrightarrow{b}$%. Две противоположные вершины соответствуют векторам $%-\overrightarrow{a}$% и $%-\overrightarrow{b}$%. Заметим, что $%|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}|$% и $%|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = {2\over \sqrt 3}|\overrightarrow{a}|$%. Возводя последнее равенство в квадрат, получаем, что $%\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = {1\over 3}\overrightarrow{a}^2$%. Теперь само решение. Векторное произведение $%[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$% перпендикулярно векторам $%\overrightarrow{a}$% и $%\overrightarrow{b}$% и проходит через середины ребер куба, параллельных $%\overrightarrow{AB}$%. Его нужно нормировать, чтобы вектор по длине совпал с $%(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})/2$%, и отложить в обе стороны по половине ребра. Ответ. Вершины куба задаются векторами $%\overrightarrow{a}$% и $%\overrightarrow{b}$% , $%-\overrightarrow{a}$% и $%-\overrightarrow{b}$%, $%\pm {1\over 2|\overrightarrow{a}|}[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}] \pm{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\over 2}$%. Знаки в последнем выражении независимы. Второй случай рассматривается аналогично, там только меняется коэффициент перед векторным произведением. отвечен 24 Сен '12 23:53 
DocentI |
|
Можно считать, что эти вершины принадлежат одной грани. Нужно затем рассмотреть два случая: 1) Эти точки противоположные вершины квадрата. 2) Точки - смежные вершины квадрата. Сам квадрат является основанием правильной пирамиды с вершиной в точке (0;0;0). отвечен 24 Сен '12 20:04 
Anatoliy |