высшая-математика - Решить уравнение

$%(2+i)x^2-(5-i)x+(2-2i)=0$%

Найдем дискриминант: $%D=(-(5-i))^2-4(2-2i)(2+i)=25-10i+i^2-16+16i-8i+8i^2=-2i$%

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $%\sqrt{D}=a+bi $%. То есть

$%\sqrt{-2i}=a+bi \Rightarrow -2i=(a+bi)^2\Rightarrow -2i=a^2+2abi-b^2$%

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $%a$% и $%b$%:

$%\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=-2\end{cases} $%

решив которую, имеем, что $%a=1; b=-1; $% получаем, что $%\sqrt{D}=1-i$% , а тогда

$%x_1=\frac{(5-i)-(1-i)}{2*(2+i)}=\frac{2}{2+i}=\frac{4}{5}-\frac{2}{5}i$%

$%x_2=\frac{(5-i)+(1-i)}{2*(2+i)}=\frac{3-i}{2+i}=\frac{5-5i}{5}=1-i$%