Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются 2^(k-2017). Найдите все целые значения k, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться 2016. В ответе укажите сумму всех таких значений k. Если таких значений k нет, то в ответе укажите 0. Я считал, что так как сумма n первых членов геометрической прогрессии кратна первому члену, а 2016=2^53^27, то перебираем 5 вариантов b1=q=2;4;8;16;32 и не один вариант не подошёл. Получается таких k нет, верно ли я рассуждаю?

задан 28 Ноя '15 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прогрессия имеет вид $%q$%, $%q^2$%, ... , $%q^n$%, ... , где $%q=2^{k-2017}$%. Заметим, что сумма первых $%n$% членов равна $%q+q^2+\cdots+q^n$%. Эта величина равна $%n$% при $%q=1$%, и тогда значение $%k=2017$% подходит, если взять $%n=2016$%. При $%q\ne1$% сумма первых $%n$% членов прогрессии равна $%\frac{q(q^n-1)}{q-1}$%. Предположим, что $%k > 2017$%. Тогда сумма $%q+q^2+\cdots+q^n$% представляет собой сумму степеней двойки с различными показателями, что в двоичной системе даёт число, запись которого имеет $%n$% единиц. Мы знаем, что $%2016=11111100000_2$%, то есть $%n=6$%, но при этом все единицы являются соседними, и получается $%q=2$%, что соответствует числу $%1111110_2=126$%.

Теперь предположим, что $%k < 2017$%. Тогда $%q < \frac12$%, и все суммы вида $%q+q^2+\cdots+q^n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^n}$% меньше 1, то есть число 2016 при этом не получить.

Значит, в ответе надо было написать 2017.

ссылка

отвечен 28 Ноя '15 22:00

Спасибо, совсем с отрицательной степенью сразу отбросил вариант,а про 0 и забыл

(28 Ноя '15 22:04) Asifer
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×50
×38

задан
28 Ноя '15 21:35

показан
419 раз

обновлен
28 Ноя '15 22:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru