3
1

Чему будет равна вероятность того, что в случайном двоичном слове на первых 10 позициях меньше единиц, чем на последних 11?

задан 28 Ноя '15 21:54

изменен 28 Ноя '15 21:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Слово считаем по крайней мере 11-разрядным: в противном случае постановка задачи не имеет смысла.

Первые 10 позиций могут перекрываться с последними 11. Тогда общую часть можно исключить (там единиц поровну), и получится задача сравнения числа единиц в первых $%k$% позициях и в последних $%k+1$%, где общих символов уже нет. В таком общем виде и будем решать задачу.

Сравним количество единиц в первых $%k$% позициях и в последних $%k$%. Пусть $%p$% -- вероятность того, что эти количества совпали. Тогда число $%\frac{1-p}2$% равно как вероятности того, что в первых $%k$% позициях единиц строго больше, чем в последних $%k$%, так и вероятности того, что их там строго меньше.

Применим формулу полной вероятности для подсчёта интересующего нас события. Для этого рассмотрим три случая (они образуют полную группу событий).

Пусть в первых $%k$% позициях единиц меньше, чем в последних $%k$%. Вероятность этого события, как было сказано, равна $%\frac{1-p}2$%. При этом с вероятностью $%1$% окажется, что в первых $%k$% позициях единиц меньше, чем в последних $%k+1$%.

Пусть в первых $%k$% позициях единиц столько же, сколько в последних $%k$%. Вероятность этого события равна $%p$%. Исход здесь зависит от $%(k+1)$%-го справа символа. Если он равен $%1$%, то мы будем иметь "успех". Это произойдёт с вероятностью $%\frac12$%.

Наконец, пусть в первых $%k$% позициях единиц больше, чем в последних $%k$%. Вероятность этого события равна $%\frac{1-p}2$%. Каков бы при этом ни оказался $%(k+1)$%-ый справа символ, "успеха" у нас уже не будет: в лучшем случае количество единиц там и там уравняется. Поэтому для такого варианта вероятность "успеха" равна нулю.

Теперь применение формулы полной вероятности даёт нам значение вероятности интересующего нас события ("успеха"): $%\frac{1-p}2\cdot1+p\cdot\frac12+\frac{1-p}2\cdot0=\frac12$%.

ссылка

отвечен 28 Ноя '15 23:02

1

@falcao: Большое спасибо, единственный непонятный момент: почему вероятность того, что в первых будет больше единиц, чем в последних равна вероятности того, что будет наоборот. Интуитивно понятно, но как это строго можно доказать?

(29 Ноя '15 2:20) fasegfaxs
1

@lugo: это следует из того, что выбор всех строк равновероятен. Вероятность того, что нам выпадет последовательность x(1),...,x(n) равна вероятности того, что выпадет x(n),...,x(1). Поэтому количество последовательностей с преобладанием единиц в начале в точности равно количеству с преобладанием единиц в конце.

(29 Ноя '15 2:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,992
×1,505
×869

задан
28 Ноя '15 21:54

показан
578 раз

обновлен
29 Ноя '15 2:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru