Давайте вернёмся к исходному двучлену. Добавим $$8x^{2}$$, но сгруппируем новый 4-член так: $$(x^{4} - 8x^{2} + 16) + (8x^{2})$$. К тем 4-ём корням, которые получены благодаря @DocentI, придётся добавить 4 корня из моего уравнения. А уравнение-то 4-ой степени! Оно одно и то же в обоих случаях! Так в чём дело? Кто объяснит этог фокус с 8-ью корнями уравнения 4-ой степени? $$Правка$$ Хороший шахматист отличается от плохого тем, что первый видит партию на много ходов вперёд. Я поднял бурю в стакане потому, что дальше своего носа ничего не вижу. Спасибо за подробное объяснение.

задан 26 Сен '12 8:29

изменен 30 Сен '12 9:07

На множестве каких чисел?

(26 Сен '12 12:35) Anatoliy

Это те же корни, только сгруппированы в пары по-другому. Добавила вычисления в ответ

(29 Сен '12 21:47) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Добавить и вычесть $%8x^2$%, получим разность квадратов.

Дополнение $$x^4 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 8x^2 = (x^2 + 2\sqrt 2 x + 4)(x^2 - 2\sqrt 2 x + 4) = \\=(x+\sqrt 2+i\sqrt 2)(x+\sqrt 2-i\sqrt 2)(x-\sqrt 2+i\sqrt 2)(x-\sqrt 2-i\sqrt 2)$$ Поменяем местами второй и третий сомножители и перемножим соседние пары множителей. Получим $$(x+\sqrt 2+i\sqrt 2)(x-\sqrt 2+i\sqrt 2)(x+\sqrt 2-i\sqrt 2)(x-\sqrt 2-i\sqrt 2)=\\=((x+i\sqrt 2)^2-2)(x-i\sqrt 2)^2-2))=(x^2+2i\sqrt 2 x - 4)(x^2+2i\sqrt 2 x - 4)$$ Это же разложение получится, если применить Ваш метод.

Во втором случае не все коэффициенты вещественные. Поэтому @Anatoliy и спрашивал. над полем каких чисел нужно разложение.

ссылка

отвечен 26 Сен '12 11:11

изменен 29 Сен '12 22:17

У Вас превосходный математический аппарат - чуткий, быстрый, острый! В вопросах разложения (да и не только в них!)сильна и, насколько я успел заметить, @Sailyan. Этот вопрос для вас, математиков, не слишком сложен. Я вбросил его в Сообщество из-за одной истории. Вспоминаю, когда-то мне приходилось читать, что это разложение долгое время не давалось хорошим математикам. Тогда разложение сделала француженка, кажется, Сен-Жермен, если мне не изменяет память... Вопрос @Anatoliy после Вашего ответа уже не требует пояснений: "Пока Умный ищет брод, Смелый реку перейдёт"... Всё: символов нет!

(27 Сен '12 8:55) nikolaykruzh...

Теорема "Софи Жермен"

(27 Сен '12 8:57) ASailyan

Спасибо, у Вас замечательная память, а я никогда не отличался ни точностью, ни пунктуальностью.

(27 Сен '12 8:59) nikolaykruzh...

Не знала об этом, спасибо за информацию. Все-таки, теорема Софи Жермен чуть посложнее, касается теории чисел. Разложение подобного многочлена на множители вряд ли можно считать "теоремой".

(27 Сен '12 9:39) DocentI
(27 Сен '12 21:35) ASailyan

Спасибо Вам, уважаемая @ASailyan! Удалось же Вам раздобыть этот материал! Меня больше всего поразило не то, что Вас, - не знания, добытые таким трудным путём, а её красота, хотя, понимаю, женщине говорить о красоте другой женщины говорить не этично. Но что делать, если это правда? Не снимайте эту ссылку, пусть другие убедятся, что я говорю правду. Таким образом мы и почтим её память, хотя, может быть, её заслуги менее значимы, чем заслуги нашей Софи, Ковалевской... Однако: Вы о-очень любите математику! А наверно, ещё больше Вы цените другое: значение женщин в обществе! Феминистка, словом.

(28 Сен '12 18:10) nikolaykruzh...

Спасибо Вам: очень полезные сведения... А Ваш список специальной литературы весьма внушителен. Видно, что Вы о-очень любите математику! Удачи Вам в любимом деле!

(28 Сен '12 18:23) nikolaykruzh...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

У многочлена $%x^4+16$% четыре комплексных корня: $%\sqrt{2}\cdot(1+i)$%, $%\sqrt{2}\cdot(1-i)$%, $%\sqrt{2}\cdot(-1+i)$% и $%\sqrt{2}\cdot(-1-i)$%. Этот факт не зависит от способа разложения многочлена на множители.

ссылка

отвечен 29 Сен '12 20:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,570

задан
26 Сен '12 8:29

показан
1623 раза

обновлен
30 Сен '12 9:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru