Можно ли указать такие 2015 натуральных чисел, чтобы сумма их обратных величин была равна 1? Если можно, приведите пример.

Как доказать, что это возможно? Для общего случая? Подойдет ли пример, где 1/2015 складывается с 1/2015 2015 раз? ведь не сказано что числа должны быть разными.

Достаточно ли одного такого примера? Какой еще можно привести?

задан 30 Ноя '15 0:59

изменен 30 Ноя '15 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если в условии нет ограничений, то это верное решение. Другое дело, что так всё получается слишком просто. Можно привести примеры и с попарно различными числами в знаменателях. Скажем, возьмём равенство 1=1/2+1/3+1/6. Если его разделить на 6, то получится 1/6=1/12+1/18+1/36. Заменим в предыдущем равенстве 1/6 на сумму трёх слагаемых. Получится 1=1/2+1/3+1/12+1/18+1/36. Количество слагаемых увеличилось на два. Теперь его можно ещё увеличить на два тем же приёмом: самое первое равенство делим на 36, получается 1/36=1/72+1/108+1/216, и в предыдущей сумме последнее слагаемое заменяем. Этим способом доводим количество слагаемых до нужного (нечётного) количества.

Такой приём может быть полезен при решении ряда задач. Но можно поступить и проще. Скажем, взять равенство $%1=1/2+1/4+...+1/2^{n-1}+1/2^n+1/2^n$%. Здесь $%n+1$% слагаемое, и два самых последних пока что равны. Тогда применяем тот же приём, представляя самое последнее в виде $%1/2^n=1/2^{n+1}+1/(3\cdot2^n)+1/(6\cdot2^n)$%. Слагаемых станет $%n+3$%, и можно обеспечить любое заданное количество, начиная с трёх.

Есть и много других способов делать аналогичные вещи.

ссылка

отвечен 30 Ноя '15 2:10

@falcao: Более интересная задача для нечётных знаменателей. Недавно @knop на форуме показал минимальное количество слагаемых в такой задаче.

(30 Ноя '15 2:57) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: а где это было?

(30 Ноя '15 3:14) falcao

@EdwardTurJ: спасибо за ссылку. Я этот пример видел, но не запомнил, хотя он весьма интересный.

(30 Ноя '15 15:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,206
×3,372
×124
×97

задан
30 Ноя '15 0:59

показан
801 раз

обновлен
30 Ноя '15 15:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru