В одной, довольно стандартной, теме у нас завязалась интересная дискуссия о методических вопросах преподавания математического анализа. Она не уместилась в комментариях, к тому же недоступна там другим заинтересованным участникам. Поэтому переношу сюда.

Обсуждались две темы: вычисление пределов и метод множителей Лагранжа. По первому вопросу мы пришли к мнению, что лучше не давать студентам головоломные примеры, а поскорее научить мощным методам: правилу Лопиталя и формуле Тейлора.

Теперь об условном экстремуме. Как можно решить, например, такое задание: $$z = ax + by \to \min, \max, x^2 + y^2 = 1 ?$$ Выражать из условия $%y$%, конечно, можно , но неудобно.

Метод Лагранжа. Создаем промежуточную функцию $%L = ax + by - \lambda(x^2 + y^2)$%. Приравниваем ее производные к 0. Получаем систему из 3 уравнений. $$\begin{cases}a-2\lambda x = 0\\b -2\lambda y= 0\\x^2 + y^2 = 1\end{cases} $$ Отсюда $%x = {a\over 2\lambda} , y = \frac{b}{2\lambda}$%. Подставляем в последнее уравнение, находим $%\lambda$% (два значения), а через него - x и y.

Для исследования на тип критической точки берем вторые производные, которые выражаются через $%\lambda$%. В данном случае форма получится определенной, так что использовать связь между dx и dy не нужно. Впрочем, в такмо простом примере вообше не нужен второй дифференциал. На ограниченном замкнутом множестве непрерывная функция принимаем свои наибольшее и наименьшее значения, значит, в одной из точек - минимум, а во второй - максимум.

Метод дифференцирования в силу уравнения. Будем считать, что y является функцией от x (принадлежит одной из ветвей неявной функции). Имеем $%z^'_x = a + b y^'_x$%. В критической точке это выражение равно 0. C другой стороны, в силу условия, связывающего x и y, имеем $%2x + 2y y^'_x = 0$%. Получаем систему из двух уравнений (первое уравнение выполняется в критических точках): $$\begin{cases}a + b y^'_x = 0\\x + y y^'_x = 0\end{cases} $$ Исключим из этой системы $%y^'_x$%. Например, выразим ее из первого уравнения и подставим во второе. Получим, что $%y = {b\over a}x$%. Подставляем это равенство в уравнение связи и получаем два решения, отличающиеся знаком.
Далее можно взять вторую производную в силу уравнения. Либо повторить рассуждение о непрерывной функции.

По-моему, второе рассуждение короче, а главное - прозрачнее. Единственное, что можно возразить - а вдруг экстремум достигается в точке ветвления, где $%y^'_x$% не существует? В данном примере это означает, что $%y = 0$%. Но ведь мы и не делим на этот коэффициент, так что никакое решение не будет потеряно.

Для какого же конкретного, вычислительного примера полезнее функция Лагранжа? Может, для случая нескольких условий? Там все равно для отыскания производных неявно заданных функций надо решать систему. Тогда уж "до кучи" решим и систему с $%\lambda$%.

Прошу желающих высказаться о том, какие части стандартной программа надо давать обязательно, а какие - пройти "по диагонали", и для каких специальностей это подходит?

задан 27 Сен '12 0:26

Может быть, перенести мои комментарии сюда в виде ответа?

(27 Сен '12 22:01) Андрей Юрьевич

Ага. Я так и предполагала

(27 Сен '12 23:52) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

1. По поводу вычисления пределов без Лопиталя и Тейлора.
Несколько лет назад одна студентка меня спросила "Зачем же мы столько времени занимались ерундой, если есть такой хороший способ решения этих задач". И я подумал "А правда, зачем?". И с тех пор даю только Лопиталя и Тейлора. И показываю, что это, по сути, одно и то же, т.е. способ решения единственный. Никакого порочного круга при этом не получается. Конечно, производная - это предел, и дать определение производной можно только после определения предела. Да, для вывода производных от элементарных функций нужно раскрывать неопределенность без производных (для этого нужны 1-й и 2-й замечательные пределы). Но этим можно ограничиться, а все задачи на сложные пределы перенести на будущее, когда производная уже определена. Никаких проблем не возникло, даже программу менять не потребовалось - только часть заданий перенести из одной темы в другую.

2. По поводу множителей Лагранжа.
Я все-таки решил метод Лагранжа не трогать, т.к. это мощный и универсальный метод для численного решения задач. Да, почти все задачи из задачника можно решить и без введения $%\lambda$%. Но для решения реальных, а не учебных задач требуется, как правило, применять численные методы оптимизации. Если задача сформулирована по Лагранжу, это можно сделать универсальным способом даже в том случае, если целевая функция не дифференцируемая (что бывает достаточно часто).

ссылка

отвечен 29 Сен '12 17:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5

задан
27 Сен '12 0:26

показан
730 раз

обновлен
29 Сен '12 17:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru