методика-преподавания - Методика преподавания матана: от чего можно отказаться?

В одной, довольно стандартной, теме у нас завязалась интересная дискуссия о методических вопросах преподавания математического анализа. Она не уместилась в комментариях, к тому же недоступна там другим заинтересованным участникам. Поэтому переношу сюда.

Обсуждались две темы: вычисление пределов и метод множителей Лагранжа. По первому вопросу мы пришли к мнению, что лучше не давать студентам головоломные примеры, а поскорее научить мощным методам: правилу Лопиталя и формуле Тейлора.

Теперь об условном экстремуме. Как можно решить, например, такое задание: $$z = ax + by \to \min, \max, x^2 + y^2 = 1 ?$$ Выражать из условия $%y$%, конечно, можно , но неудобно.

Метод Лагранжа. Создаем промежуточную функцию $%L = ax + by - \lambda(x^2 + y^2)$%. Приравниваем ее производные к 0. Получаем систему из 3 уравнений. $$\begin{cases}a-2\lambda x = 0\\b -2\lambda y= 0\\x^2 + y^2 = 1\end{cases} $$ Отсюда $%x = {a\over 2\lambda} , y = \frac{b}{2\lambda}$%. Подставляем в последнее уравнение, находим $%\lambda$% (два значения), а через него - x и y.

Для исследования на тип критической точки берем вторые производные, которые выражаются через $%\lambda$%. В данном случае форма получится определенной, так что использовать связь между dx и dy не нужно. Впрочем, в такмо простом примере вообше не нужен второй дифференциал. На ограниченном замкнутом множестве непрерывная функция принимаем свои наибольшее и наименьшее значения, значит, в одной из точек - минимум, а во второй - максимум.

Метод дифференцирования в силу уравнения. Будем считать, что y является функцией от x (принадлежит одной из ветвей неявной функции). Имеем $%z^'_x = a + b y^'_x$%. В критической точке это выражение равно 0. C другой стороны, в силу условия, связывающего x и y, имеем $%2x + 2y y^'_x = 0$%. Получаем систему из двух уравнений (первое уравнение выполняется в критических точках): $$\begin{cases}a + b y^'_x = 0\\x + y y^'_x = 0\end{cases} $$ Исключим из этой системы $%y^'_x$%. Например, выразим ее из первого уравнения и подставим во второе. Получим, что $%y = {b\over a}x$%. Подставляем это равенство в уравнение связи и получаем два решения, отличающиеся знаком.
Далее можно взять вторую производную в силу уравнения. Либо повторить рассуждение о непрерывной функции.

По-моему, второе рассуждение короче, а главное - прозрачнее. Единственное, что можно возразить - а вдруг экстремум достигается в точке ветвления, где $%y^'_x$% не существует? В данном примере это означает, что $%y = 0$%. Но ведь мы и не делим на этот коэффициент, так что никакое решение не будет потеряно.

Для какого же конкретного, вычислительного примера полезнее функция Лагранжа? Может, для случая нескольких условий? Там все равно для отыскания производных неявно заданных функций надо решать систему. Тогда уж "до кучи" решим и систему с $%\lambda$%.

Прошу желающих высказаться о том, какие части стандартной программа надо давать обязательно, а какие - пройти "по диагонали", и для каких специальностей это подходит?