2
1

alt text

задан 30 Ноя '15 19:25

Пример строится на том, что все производные $%\Large e^{-\frac1{(x-x_0)^2}}$% в точке $%\large x=x_0$% равны нулю.

$%y=\Large e^{-\frac{e^{-\frac1{(x-x_1)^2}}}{(x-x_0)^2}}$% "склеивается" с $%y=x_0$% в точке $%\large x=x_0$% и с $%y=x_1$% в точке $%\large x=x_1$%.

(30 Ноя '15 19:55) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: поясните, пожалуйста, второй момент ( про "склеивание").

(30 Ноя '15 20:56) stander
10|600 символов нужно символов осталось
4

Эта конструкция достаточно стандартная, но она важная, поэтому имеет смысл описать её более детально.

Начинаем с функции $%f(x)=0$% при $%x\le0$% и $%f(x)=e^{-1/x^2}$% при $%x > 0$%. Все $%n$%-е производные функции $%f(x)$% в положительных точках имеют вид $%f^{(n)}(x)=R_n(x)e^{-1/x^2}$%, где $%R_n(x)$% -- частное двух многочленов (в знаменателе находится некоторая степень $%x$%). Из-за того, что экспонента растёт быстрее любого полинома, легко выводится тот факт, что предел $%f^{(n)}(x)$% при стремлении $%x$% справа к нулю равен нулю. Это значит, что построена гладкая функция (все её производные в нуле равны нулю).

Рассмотрим график функции $%f(x)$% и отразим его симметрично относительно прямой $%x=\frac12$%. Получится график функции $%f(1-x)$%, значения которой равны нулю при $%x\ge1$%. Теперь рассмотрим произведение этих функций: $%g(x)=f(x)f(1-x)$%. Это гладкая функция, равная нулю вне интервала $%(0;1)$%, а на самом интервале график функции представляет собой "горбик".

Теперь проинтегрируем функцию $%g(x)$%, рассматривая её первообразную $%G(x)=\int\limits_{-\infty}^xg(t)\,dt$%. Эта функция также гладкая, и она равна нулю при $%x\le0$%, а при $%x\ge1$% значение функции постоянно и равно положительной константе $%c=\int\limits_0^1g(t)\,dt$%. Разделив на $%c$%, имеем гладкую функцию $%H(x)$%, равную нулю при $%x\le0$%, равную $%1$% при $%x\ge1$%, и "плавно" переходящую от 0 к 1 на отрезке $%[0;1]$%.

Теперь отразим график $%H(x)$% относительно прямой $%x=2$% и рассмотрим функцию $%H(4-x)$%. Положим теперь $%F(x)=H(x)$% при $%x\le2$% и $%F(x)=H(4-x)$% при $%x\ge2$%. График этой функции выглядит так: сначала она равна 0 (при $%x\le0$%), затем она "плавно" увеличивает значения до 1 (на $%x\in[0;1]$%), далее она тождественна равна 1 (на отрезке $%x\in[1;3]$%, после чего она так же "плавно" снижается до значения 0 (при $%x\in[3;4]$%), и далее становится тождественно нулевой (при $%x\ge4$%).

Теперь остаётся рассмотреть композицию линейной функции, переводящей отрезок $%[a,b]$% в $%[0;4]$%, и функции $%H(x)$%, после чего получится функция, которую требовалось построить в условии.

ссылка

отвечен 30 Ноя '15 21:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,959
×501

задан
30 Ноя '15 19:25

показан
301 раз

обновлен
30 Ноя '15 21:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru