Дана непрерывная на $%\mathbb R$% функция с периодом T. Показать её неинъективность на [0;T).

(Я хотела доказать так: сначала рассмотрим функцию на отрезке [0;T]. По теореме Вейерштрасса непрерывная на компакте функция достигает своего минимума и максимума. Рассмотрим случаи: 1)min=max Тогда эта функция -- константа, очевидно, не инъективная. Что верно и для [0;T). 2)min≠max (точнее, пусть существует либо только max, либо только min, либо min≠max) Тогда у этой функции будет точка экстремума, в которой она поменяет свой характер убывания/возрастания=> ей некуда деваться, кроме как для разных значений аргумента принимать хотя бы два раза (кроме самой точки экстремума) одинаковые значения)

Подозреваю, что мои рассуждения могут быть ошибочны. Но я попыталась.

задан 30 Ноя '15 21:26

изменен 30 Ноя '15 21:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Не влезло в размеры комментария, к сожалению.

Начало рассуждения у Вас правильное, а концовка нуждается в исправлении. Дело в том, что среди непрерывных функций бывают "дикие", у которых ни в одной точке нет производной, которые ни на каком промежутке не возрастают и не убывают, поэтому ссылка на "характер возрастания" некорректна.

Рассуждать проще всего так: поскольку $%M > m$%, то либо $%f(0) < M$%, либо $%f(0) > m$%. Оба случая аналогичны; рассмотрим первый. Возьмём любое промежуточное значение $%c$% между $%f(0)$% и $%M$% (например, их полусумму). Тогда оно принимается на интервале $%(0,x_0)$%, где $%x_0$% -- точка наибольшего значения. Аналогично, на интервале $%(x_0,T)$% значение $%c$% также где-то принимается, поскольку $%f(T)=f(0)$%. Тем самым, $%f$% принимает одно и то же значение $%c$% в двух разных точках, то есть $%f$% неинъективна.

ссылка

отвечен 30 Ноя '15 22:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,254
×593
×114
×29

задан
30 Ноя '15 21:26

показан
332 раза

обновлен
30 Ноя '15 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru