|
1) $%\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)})=( \infty - \infty )=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)-x}{x \ sin(x)}=|sin(x)\sim x|=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)-x}{x^2}= \frac{0}{0}=$% $%\lim_{x \rightarrow 0} \frac{cos (x)-1}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-(1-cos (x))}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{4x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{4}=0$% 2) $%\lim_{x \rightarrow +0} x \ ln^2 x=(0 \times \infty )=|ln \ x=t, {t \rightarrow -\infty}, {x \rightarrow +0} ;ln^2 x=t^2; x=e^t|=lim_{t \rightarrow -\infty} e^t \ t^2=$% $%=lim_{t \rightarrow -\infty} e^t \times lim_{t \rightarrow -\infty} \ t^2=lim_{t \rightarrow -\infty} e^t \times lim_{t \rightarrow -\infty}2t=lim_{t \rightarrow -\infty} e^t \times lim_{t \rightarrow -\infty}2=2lim_{t \rightarrow -\infty} e^t =$% $%=0$% 3) $%\lim_{x \rightarrow +0} x^2 \ e^{\frac{1}{x}}=(0* \infty )=\lim_{x \rightarrow +0} \frac{ e^{\frac{1}{x}}}{x^{-2}}=\lim_{x \rightarrow +0} \frac{- e^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2}}{-2x^{-3}}=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow +0} \frac{ e^{\frac{1}{x}} }{x^{-1}}=$% $% =\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow +0} \frac{ - e^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2}}{-x^{-2}}=\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow +0} \ e^{\frac{1}{x}}=\frac{e^{\infty}}{2}=\infty$% (подскажите можно ли так ?) задан 2 Дек '15 9:35 
s1mka
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Давайте я по всем этим задачам приведу свой способ решения и оформления как один из возможных. Главное, чтобы всё было понятно и "читабельно". 1) $%\lim\limits_{x\to0}(\frac1x-\frac1{\sin x})=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x\,\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-1}{2x}=-\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}2=0$%. 2) Положим $%y=-\ln x\to+\infty$%. Тогда $%\lim\limits_{x\to+0}x\ln^2x=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{y^2}{e^y}=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{2y}{e^y}=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac2{e^y}=0$%. 3) Положим $%y=1/x\to+\infty$%. Тогда $%\lim\limits_{x\to+0}x^2e^{1/x}=\lim\limits_{y\to+\infty}\frac{e^y}{y^2}=\frac10=\infty$% по предыдущему пункту (числитель и знаменатель поменялись местами). отвечен 3 Дек '15 21:43 
falcao |
1) нельзя (кроме того, у Вас ошибка в последнем равенстве): переходите сначала к общему знаменателю.
2) например, подстановка $%\ln x = t$%
1) теперь сделан через Лопиталя, но все равно неверно, Вы перешли от $%1-\cos x$% к $%-x$%, а это неверно: $%1-\cos x$% - это величина 2-го порядка малости, а не 1-го. ИМХО, проще синус в числителе было разложить в ряд Маклорена до 5-го порядка.
2) Почему у Вас если $%x\to 0+0$%, то вдруг $%t \to 0$% тоже? +0 означает просто, что $%x>0$%, т.к. при $%x<0$% $%\ln x$% не определен в $%\mathbb{R}$%.
Решать просто: надо выполнить подстановку до конца - заменить все выражения от $%x$% на соответствующие выражения от $%t$%. Делать подстановки учат в школе. $%x\neq 1/t$%, подумайте еще.
@s1mka: у Вас здесь неверно всё (от начала и до конца). В первом примере лучше сделайте по Лопиталю: разложение в ряд (хорошее само по себе) Вас запутало и привело к ошибочному ответу.
Во втором примере есть принципиальная ошибка: после замены у Вас t стремится к нулю, но это не так. Посмотрите по графику, куда стремится ln x при стремлении x к нулю.
@s1mka: в первом примере Вы 0 делите на 4. Получаете бесконечность. Это интересно; я бы тоже так хотел -- научите! Скажем, у меня нет ни копейки, я делю своё "состояние" на 4-х человек, и обретаю бесконечные богатства! :)
вроде 3-й пример правилен и почти добит: осталось применить Лопиталя нужное кол-во раз или ряд Маклорена
во 2-м примере ответ правильный
смысл и там и тут один и тот же: экспонента растет быстрее многочлена
@s1mka: посмотрите на то, что у Вас написано в конце. Экспонента $%e^t$%, которая очень быстро растёт, у Вас почему-то оказалась стремящейся к нулю. Это же явный абсурд.
@falcao 3)можно без замены? я просто нашла в учебнике разобранный пример на подобии этого, единственно там степень была -1/х, правильно я сделала? 2) во втором тоже ошибка была, можно так сделать? можно так использовать правило Лопиталя?