Решить уравнение $%\sqrt[5]{x+\sqrt[5]{x+\sqrt[5]{x}}}=[\sqrt[4]{y}]-1$% в целых числах.

задан 29 Сен '12 22:14

изменен 30 Сен '12 19:03

10|600 символов нужно символов осталось
2

Что ж, предположим, что уравнение действительно надо решить в целых числах.
Функция $%f(x)=\sqrt[5]{x+\sqrt[5]{x+\sqrt[5]x}}$% является возрастающей, как отметила @DocentI, да еще и нечетной, поэтому отдельно решим уравнения $%f(x)=-1$% и $%f(x)=0$%. $%f(-1) < -1$%, значит первое уравнение не имеет корней. Второе уравнение имеет единственный корень: $%x=0$%. Теперь перейдем к положительным иксам...
Сделаем замену: $%z=\sqrt[5]x$%. Для выполнения условия целочисленности $%z$% должно быть натуральным. Но $%\sqrt[5]{x+\sqrt[5]x}=\sqrt[5]{z^5+z}$% является нецелым для всех натуральных $%z$%, т.к. $%z^5 < z^5+z < (z+1)^5$%.
Следовательно, $%x=0$% - единственный целочисленный $%x$%, обращающий $%f(x)$% в целое число. С правой частью уравнения теперь легко разобраться: $%y=1..15$%.

ссылка

отвечен 30 Сен '12 1:18

1

Что ж, тогда решение @DocentI является исчерпывающим, а задачка является скучной ))

(30 Сен '12 14:23) chameleon

Да, все-таки в целых числах. Исправил.

(30 Сен '12 19:05) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Что будет считаться решением этого уравнения? При некоторых x левая часть равна целому числу k. При этом $%k+1 \le \sqrt[4]y < k +2$%, что дает для каждого k интервал, в котором находится y. Ясно, что $%k \ge -1$%.

Левая часть есть возрастающая функция, принимающая все вещественные значение. В частности, и все указанные k, каждое при своем x.

Это, по сути, уже некоторое решение. Лучше оно будет, только если мы найдем обратную зависимость x от k, что не представляется возможным (сводится к уравнению 25-ой степени).

Или предполагалось найти только целые решения?

ссылка

отвечен 29 Сен '12 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,437

задан
29 Сен '12 22:14

показан
735 раз

обновлен
30 Сен '12 21:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru