|
Найдите предел $%\lim\limits_{x\to0} \bigg( x^2 \bigg(1+2+3+\dots+\bigg[\dfrac{1}{|x|}\bigg]\bigg) \bigg)$%. Запись $%[t]$% обозначает целую часть числа $%t$%, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $%t$%. задан 5 Дек '15 23:26 
a2g |
|
Положим $%n=[1/|x|]$%. Тогда $%n\le1/|x| < n+1$%, откуда $%1/(n+1) < |x|\le1/n$%. Это значит, что $%1/(n+1)^2 < x^2\le1/n^2$%. С учётом того, что $%1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$%, функция под знаком предела расположена между $%\frac{n}{2(n+1)}$% и $%\frac{n+1}{2n}$%. Ясно, что $%n\to\infty$% при $%x\to0$%, и тогда обе величины стремятся к $%\frac12$%. По "лемме о двух милиционерах", промежуточная последовательность будет стремиться к такому же пределу. отвечен 5 Дек '15 23:58 
falcao |