Найдите предел $%\lim\limits_{x\to0} \bigg( x^2 \bigg(1+2+3+\dots+\bigg[\dfrac{1}{|x|}\bigg]\bigg) \bigg)$%. Запись $%[t]$% обозначает целую часть числа $%t$%, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $%t$%.

задан 5 Дек '15 23:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%n=[1/|x|]$%. Тогда $%n\le1/|x| < n+1$%, откуда $%1/(n+1) < |x|\le1/n$%. Это значит, что $%1/(n+1)^2 < x^2\le1/n^2$%. С учётом того, что $%1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$%, функция под знаком предела расположена между $%\frac{n}{2(n+1)}$% и $%\frac{n+1}{2n}$%. Ясно, что $%n\to\infty$% при $%x\to0$%, и тогда обе величины стремятся к $%\frac12$%. По "лемме о двух милиционерах", промежуточная последовательность будет стремиться к такому же пределу.

ссылка

отвечен 5 Дек '15 23:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,391
×719
×613
×130
×121

задан
5 Дек '15 23:26

показан
551 раз

обновлен
5 Дек '15 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru