|
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды Помогите решить, без всяких там "свойств параллельный сечений", этого мы не проходили. задан 6 Дек '15 22:03 
Даниил Ребянин |
|
Пусть $%x$% -- ребро куба. Рассмотрим сечение, проходящее через верхнюю грань этого куба. В этом сечении возникает прямоугольный треугольник, подобный исходному, с коэффициентом $%(24-x):24$%. Это отношение высот двух пирамид, подобных друг другу. В треугольник, получающийся в сечении, вписан квадрат со стороной $%x$%, стороны которого параллельны катетам. Понятно, что он при этом вписан в прямой угол (чтобы все вершины лежали на сторонах). Если этот квадрат построить, то от треугольника останутся ещё два треугольника, подобных исходному. Рассмотрим один из них, у которого один катет равен $%x$%, а второй в 4/3 раза больше. Получится, что у треугольника в сечении больший из катетов равен $%x+4x/3=7x/3$%, и он относится к большему катету треугольника в основании, то есть к 8, с коэффициентом подобия, указанным выше. Отсюда имеем уравнение $%7x/24=(24-x)/24$%, то есть $%x=3$%. Что имелось в виду под "свойствами параллельных сечений", и на что не надо было ссылаться, я не знаю. Но свойства подобных треугольников изучаются задолго до стереометрии. отвечен 6 Дек '15 22:23 
falcao |