Здравствуйте! Никак не могу разобраться, как решить данную задачу. Может ли кто-нибудь помочь?

"Рассмотрим множество невозрастающих последовательностей натуральных чисел, в которых все члены, начиная с некоторого, равны нулю. Введем в нем порядок так : сначала сравниваем первые члены, при равенстве первых вторые и т.д. Докажите, что это (линейно) упорядоченное множество фундировано."

Задача взята из учебника:

Н. К. Верещагин, А.Шень "НАЧАЛА ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ"

Задача номер 110.

Заранее спасибо!

задан 9 Дек '15 20:02

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно рассуждать как по определению, так и в терминах условия обрыва убывающих цепей. Применим первый подход.

Пусть дано непустое множество $%M$% последовательностей из условия. Требуется доказать, что в нём имеется наименьший (в смысле заданного порядка) элемент.

Рассмотрим первые члены последовательностей из $%M$%. Среди них есть такой, который принимает наименьшее значение (так как множество натуральных чисел фундировано). Обозначим его через $%a_1$%.

Множество последовательностей из $%M$% с первым членом $%a_1$% по построению непусто. Рассмотрим вторые члены таких последовательностей. Среди них есть такой, который принимает наименьшее возможное значение. Обозначим его через $%a_2$%. По условию $%a_1\ge a_2$%.

Теперь рассматриваем последовательности из $%M$%, начинающиеся с $%a_1$%, $%a_2$%. Их множество также непусто. Тогда среди их третьих членов можно указать наименьшее возможное число $%a_3$%, и при этом $%a_1\ge a_2\ge a_3$%.

Этот процесс продолжается бесконечно (на каждом шаге рассматривается непустое множество), и мы получаем невозрастающую последовательность $%a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n\ge\cdots$% натуральных чисел. Такая последовательность стабилизируется на каком-то натуральном числе $%a$%, то есть $%a=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots$% для некоторого $%n$%.

Если $%a=0$%, то мы нашли наименьший элемент в $%M$%: им будет последовательность $%a_1,...,a_n,0,0,...$%. Предположим, что $%a\ne0$%. По построению, в $%M$% имеется последовательность, начинающаяся с $%a_1,...,a_n,a$%. По условию, в ней где-то встречается $%0$%. Следовательно, можно рассмотреть первый такой момент, когда член $%a$% уменьшается, что есть за ним следует меньший элемент $%b$%. Начало последовательности имеет при этом вид $%a_1,...,a_n,a,...,a,b$%, где $%b < a$%. Пусть $%m$% -- номер члена, равного $%b$%. Тогда это противоречит условию, что $%a_m=a$%, поскольку на $%m$%-м шаге мы среди всех последовательностей из $%M$%, у которых первые $%m-1$% членов равны $%a_1,...,a_n,a,...,a$%, выбирали наименьшее значение следующего ($%m$%-го) члена, который был равен $%a_m=a$%. Здесь же оказывается, что есть последовательности с меньшим значением, что приводит к противоречию.

Эту же задачу можно решать и другими способами.

ссылка

отвечен 9 Дек '15 23:10

А какой ещё способ решения возможен? Можете ли его ещё рассказать?

(10 Дек '15 9:52) frontier304

@Andrew542: другой способ основан на использовании условия обрыва убывающих цепей, но принципиально он мало чем отличается, то есть он не будет проще.

(10 Дек '15 10:39) falcao

Здравствуйте еще раз! Вот, что сказал преподаватель на данное доказательство. (Увы, решения нет. Хотя все соображения правильные. К сожалению, они ничего не доказывают.) Никак не пойму.

(12 Дек '15 0:10) frontier304

@Andrew542: то, что я здесь написал -- это полное и строгое доказательство. Если Ваш преподаватель готов со мной поспорить на эту тему -- милости просим! :)

Возможен, правда, и такой вариант, что Вы недостаточно хорошо воспроизвели суть решения. Тут есть много разных тонкостей, то есть излагать всё надо очень точно.

(12 Дек '15 0:41) falcao

@falcao, можно тогда у вас поинтересоваться, какие тонкости вы имеете ввиду?

(12 Дек '15 0:56) frontier304

@Andrew542: я здесь не имел в виду что-то конкретное, что можно предусмотреть. Речь о том, что здесь надо очень хорошо понимать само доказательство, чтобы потом его грамотно пересказать. Это не всегда бывает легко. Иногда можно чуть-чуть перепутать какие-то слова, и это будет "фатально".

(12 Дек '15 3:12) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,469
×525
×295
×248

задан
9 Дек '15 20:02

показан
876 раз

обновлен
12 Дек '15 3:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru