анализ - Наименьшее значение выражения $% x^2+4xy+5y^2+2y+7$%

Дополнительный материал к моему ответу на вопрос «Как найти область значений функции $%y = x^2 + 4x - 21$%?»

$%F = \{\langle \langle x, y \rangle, z \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \wedge z \in \mathbb{R} \wedge z = x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7 \}$%

$%\Rightarrow \{z| \ \exists x \exists y (\langle \langle x, y \rangle, z \rangle \in F)\}$%

$% \ \ \ \ = \{z | \ \exists x \exists y (\langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \wedge z \in \mathbb{R} \wedge z = x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7)\}$%

$% \ \ \ \ = \{z | \ \exists x \exists y (\langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 \wedge z \in \mathbb{R} \wedge z = (x + 2y)^2 + (y + 1)^2 + 6)\} $%

$% \ \ \ \ = \{z | \ z \in \mathbb{R} \wedge z \geq 6\}$%