Оцените погрешность в формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа для функции $%f(x)=\sqrt[3]{1+2x}$% в точке $%x_0=0$% при $%0⩽x⩽\frac{1}{2}$%

$$\sqrt[3]{1+2x}=1+\dfrac{2x}{3}-\dfrac{4x^2}{9}+r(x).$$

Нужно найти левый и правый концы отрезка, в котором может меняться $%r(x)$%.

задан 9 Дек '15 21:29

1

@a2g, ну. так напишите сему равен остаток в форме Лагранжа для трёх слагаемых... формулу знаете?... А потом спросите, что не получается при получении оценок сверху и снизу для полученного выражения...

(9 Дек '15 21:36) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$f^{3}(x)=\frac{80}{27(2x+1)^{\frac{8}{3}}}$$ Тогда остаточный член по Лагранжу равен: $$r(x)=f^{3}(x_{0}+(x-x_{0})K)\frac{(x-x_{0})^{3}}{3!}, 0< K< 1 \\ x_{0}=0, r(x)=\frac{f^{3}(xK)x^{3}}{6}=\frac{40x^{3}}{81(2Kx+1)^{8/3}}$$ Вычислим производную: $$r'(x)=\frac{40x^2(2Kx+9)}{243(2Kx+1)^{11/3}},x\geq 0,K>0\Rightarrow r'(x)\geq 0$$ Тогда r(x) возрастает. Итак при: $$ 0\leq x\leq \frac{1}{2}, 0< K< 1\\ min(r(x))=r(0)=0\\ max(r(x))=r\left (\frac{1}{2}\right )=\frac{40\cdot\frac{1}{8}}{81(K+1)^{\frac{8}{3}}}<\frac{5}{81}$$ Тогда: $$0 \leq r(x) < \frac{5}{81}$$

ссылка

отвечен 12 Дек '15 4:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,803
×560
×35
×14
×13

задан
9 Дек '15 21:29

показан
1039 раз

обновлен
12 Дек '15 4:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru