|
Оцените погрешность в формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа для функции $%f(x)=\sqrt[3]{1+2x}$% в точке $%x_0=0$% при $%0⩽x⩽\frac{1}{2}$% $$\sqrt[3]{1+2x}=1+\dfrac{2x}{3}-\dfrac{4x^2}{9}+r(x).$$ Нужно найти левый и правый концы отрезка, в котором может меняться $%r(x)$%. задан 9 Дек '15 21:29 
a2g |
|
$$f^{3}(x)=\frac{80}{27(2x+1)^{\frac{8}{3}}}$$ Тогда остаточный член по Лагранжу равен: $$r(x)=f^{3}(x_{0}+(x-x_{0})K)\frac{(x-x_{0})^{3}}{3!}, 0< K< 1 \\ x_{0}=0, r(x)=\frac{f^{3}(xK)x^{3}}{6}=\frac{40x^{3}}{81(2Kx+1)^{8/3}}$$ Вычислим производную: $$r'(x)=\frac{40x^2(2Kx+9)}{243(2Kx+1)^{11/3}},x\geq 0,K>0\Rightarrow r'(x)\geq 0$$ Тогда r(x) возрастает. Итак при: $$ 0\leq x\leq \frac{1}{2}, 0< K< 1\\ min(r(x))=r(0)=0\\ max(r(x))=r\left (\frac{1}{2}\right )=\frac{40\cdot\frac{1}{8}}{81(K+1)^{\frac{8}{3}}}<\frac{5}{81}$$ Тогда: $$0 \leq r(x) < \frac{5}{81}$$ отвечен 12 Дек '15 4:41 
rgab |
@a2g, ну. так напишите сему равен остаток в форме Лагранжа для трёх слагаемых... формулу знаете?... А потом спросите, что не получается при получении оценок сверху и снизу для полученного выражения...