Вычислить определитель матрицы nxn

  1. a x x ... x x
  2. y a x ... x x
  3. y y a ... x x
  4. . . . ... . .
  5. . . . ... . .
  6. y y y ... a x
  7. y y y ... y a

без цифр сначала , просто что б понятно было сделал.

задан 9 Дек '15 23:06

изменен 10 Дек '15 0:14

Примените гауссовы преобразования, вычитая из 1-й строки 2-ю, потом из 2-й третью, и так далее; из предпоследней последнюю. Определитель при этом не меняется. Далее разложите определитель по 1-му столбцу. Получится рекуррентное выражение определителя n-го порядка через определитель (n-1)-го порядка. Из этого получается общая формула в виде суммы, которую при определённых условиях удаётся "свернуть". Удобно при этом выражения раскладывать по степеням x-a и y-a.

(9 Дек '15 23:31) falcao

В смысле не меняется ? если раскрыть определитель по 1-му столбцу , то "у" который останется в последней строке - помешает и там под диагональю будут числа .

(10 Дек '15 0:15) Фарид

@Фарид: при гауссовых преобразованиях меняется матрица, но значение её определителя остаётся неизменным. Это одно из свойств определителей; см. учебник.

Формула здесь рекуррентная, поэтому "игреки" в последней строке не мешают. Мы определитель n-го порядка выражаем через определитель (n-1)-го порядка такого же точно вида, то есть и "игреками".

(10 Дек '15 0:28) falcao
1

@falcao Могли бы вы мне решить это задание? было давно , а долги остались. А то сам я уже не втыкаю.

(10 Дек '15 1:02) Фарид
10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим через $%\Delta_n$% определитель $%n$%-го порядка, данный в условии. Очевидно, что $%\Delta_1=a$%. Выведем рекуррентную формулу. Применим гауссовы преобразования, вычитая из 1-й строки 2-ю, потом из 2-й третью, и так далее; из предпоследней последнюю. Определитель при этом не изменится. Далее разложим определитель по 1-му столбцу. Элемент $%a-y$% умножится на такой же определитель на единицу меньшего порядка. Последний элемент столбца, $%y$%, взятый со знаком $%(-1)^{n-1}$%, умножится на определитель нижнетреугольной матрицы с элементами $%x-a$% по главной диагонали. Отсюда следует рекуррентная формула $%\Delta_n=(a-y)\Delta_{n-1}+y(a-x)^{n-1}$% при $%n\ge2$%.

В частности, $%\Delta_2=a(a-y)+(a-x)y$%, далее $%\Delta_3=a(a-y)^2+(a-x)(a-y)y+(a-x)^2y$%, и так далее. Индукцией по $%n$% доказывается, что $%\Delta_n=a(a-y)^{n-1}+(a-x)(a-y)^{n-2}y+\cdots+(a-x)^{n-1}y$%.

При $%x\ne y$% можно воспользоваться формулой суммы геометрической прогрессии, откуда следует $%\Delta_n=\dfrac{x(a-y)^n-(a-x)^ny}{x-y}$%. При $%y=x$% из общей формулы получается $%\Delta_n=(a-x)^{n-1}(a+(n-1)x)$%.

ссылка

отвечен 10 Дек '15 11:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177
×1,163
×386
×364
×94

задан
9 Дек '15 23:06

показан
1097 раз

обновлен
10 Дек '15 11:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru