математический-анализ - Какими свойствами может обладать произвольная функция $%f:ℝ→ℝ$%, непрерывная во всех точках?

Из следующего списка нужно выбрать верные утверждения:

• Функция $%|f(x)|$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.
• Функция $%f(|x|)$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.
• Функция $%\{f(x)\}$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%.
• Функция $%f(\{x\})$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%.
• Функция $%d(f(x))$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%. Здесь $%d(t)$% обозначает расстояние от $%t$% до ближайшего целого числа.
• Функция $%f(d(x))$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%. Здесь $%d(t)$% обозначает расстояние от t до ближайшего целого числа.
• Функция $%f_+(x)=\begin{cases}f(x),&\text{если }f(x)>0\\0,&\text{если }f(x)\leqslant0\end{cases}$% непрерывна при всех x∈ℝ.
• Функция $%f_-(x)=\begin{cases}0,&\text{если }f(x)\geqslant0\\f(x),&\text{если }f(x)<0\end{cases}$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.

Я взял для примера простую функцию:

Функция $%|f(x)|$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%. Потому что есть излом:

Функция $%f(|x|)$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%. Потому что тут тоже есть излом:

Функция $%\{f(x)\}$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%. Потому что тут есть разрывы:

Функция $%f(\{x\})$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа t. Потому что тут есть разрывы:

Так как $%d(t)$% обозначает расстояние, а расстояние всегда положительно, то функции $%d(f(x))$% и $%f(d(x))$% аналогичны функциям $%|f(x)|$% и $%f(|x|)$% соответственно. Поэтому тоже НЕ являются непрерывными.

Есть ли в моих вышеприведенных рассуждениях ошибки? Последние две функции вызывают у меня затруднения.