Из следующего списка нужно выбрать верные утверждения:

  • Функция $%|f(x)|$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.
  • Функция $%f(|x|)$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.
  • Функция $%\{f(x)\}$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%.
  • Функция $%f(\{x\})$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%.
  • Функция $%d(f(x))$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%. Здесь $%d(t)$% обозначает расстояние от $%t$% до ближайшего целого числа.
  • Функция $%f(d(x))$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%. Здесь $%d(t)$% обозначает расстояние от t до ближайшего целого числа.
  • Функция $%f_+(x)=\begin{cases}f(x),&\text{если }f(x)>0\\0,&\text{если }f(x)\leqslant0\end{cases}$% непрерывна при всех x∈ℝ.
  • Функция $%f_-(x)=\begin{cases}0,&\text{если }f(x)\geqslant0\\f(x),&\text{если }f(x)<0\end{cases}$% непрерывна при всех $%x∈ℝ$%.

Я взял для примера простую функцию:

alt text

Функция $%|f(x)|$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%. Потому что есть излом:

alt text

Функция $%f(|x|)$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%. Потому что тут тоже есть излом:

alt text

Функция $%\{f(x)\}$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа $%t$%. Потому что тут есть разрывы:

alt text

Функция $%f(\{x\})$% НЕ является непрерывной при всех $%x∈ℝ$%, где $%\{t\}$% обозначает дробную часть числа t. Потому что тут есть разрывы:

alt text

Так как $%d(t)$% обозначает расстояние, а расстояние всегда положительно, то функции $%d(f(x))$% и $%f(d(x))$% аналогичны функциям $%|f(x)|$% и $%f(|x|)$% соответственно. Поэтому тоже НЕ являются непрерывными.

Есть ли в моих вышеприведенных рассуждениях ошибки? Последние две функции вызывают у меня затруднения.

задан 10 Дек '15 15:26

изменен 11 Дек '15 3:05

1

@a2g: наличие излома графика (как у модуля) говорит о том, что функция недифференцируема. Но при этом она непрерывна, поскольку линия "сплошная", и она не имеет разрывов (в отличие от случая дробной части и прочего).

С функциями $%f_{+}(x)$% и $%f_{-}(x)$% всё просто: каждая из них непрерывна тогда и только тогда, когда $%f(0)=0$%, то есть в месте "склейки" графиков нет разрыва.

(10 Дек '15 19:50) falcao

@falcao посмотрите пожалуйста мой последний вопрос про криволинейный интеграл, раньше он просто не брался, об опечатке сообщили, теперь вот вопрос в том, есть ли смысл его считать.

(10 Дек '15 19:54) Leva319

@Leva319: я там ответил.

(10 Дек '15 19:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,037
×504
×129
×84
×41

задан
10 Дек '15 15:26

показан
301 раз

обновлен
11 Дек '15 3:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru