Хотелось бы понять как решать данное задание...

И после объяснения, если можно, дать еще один такой пример, чтобы самому попробовать разобрать(есть желание разобраться).

Задача номер 2.

http://s018.radikal.ru/i506/1512/43/de9df9f6178d.png

задан 10 Дек '15 23:38

изменен 10 Дек '15 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

В условии не сказано, что $%p$% и $%q$% различны, но если $%p=q$%, то подходит элемент $%\sqrt{p}$%, и здесь всё очевидно.

Пусть $%p < q$%. Рассмотрим элемент $%\theta=\sqrt{q}-\sqrt{p}$%. Ясно, что он принадлежит полю $%\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$%. Для доказательства того, что это поле совпадает с $%\mathbb Q(\theta)$%, то есть $%\theta$% является примитивным элементом, достаточно выразить $%\sqrt{p}$% и $%\sqrt{q}$% рационально через $%\theta$%.

Это делается просто: $%\dfrac1{\theta}=\dfrac1{\sqrt{q}-\sqrt{p}}=\dfrac{\sqrt{q}+\sqrt{p}}{q-p}$%. Отсюда $%\sqrt{q}+\sqrt{p}=\frac{q-p}{\theta}$%. Беря полусумму и полуразность с уравнением $%\sqrt{q}-\sqrt{p}=\theta$%, имеем $%\sqrt{q}=\frac12(\frac{q-p}{\theta}+\theta)$% и $%\sqrt{p}=\frac12(\frac{q-p}{\theta}-\theta)$%. Тем самым, оба квадратных корня представлены в виде значения рациональных функций от $%\theta$%, что и требовалось.

Если нужно какое-то ещё упражнение на эту тему, то попробуйте найти примитивный элемент поля $%\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt[3]3)$%.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 0:20

Большое Вам спасибо!

(11 Дек '15 1:15) frontier304
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,001
×1,474
×547
×525
×333

задан
10 Дек '15 23:38

показан
766 раз

обновлен
11 Дек '15 1:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru