Хотелось бы понять как решать данное задание...

http://s018.radikal.ru/i506/1512/43/de9df9f6178d.png

Задача номер 3

задан 10 Дек '15 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как и в предыдущих задачах, число $%p$%, насколько я понимаю, считается простым.

Многочлен $%X^p-2$% имеет комплексные корни вида $%\sqrt[p]2\varepsilon_p^k$%, где $%k=0,1,...,p-1$%, и $%\varepsilon_p=\cos\frac{2\pi}p+i\sin\frac{2\pi}p$% -- первообразный корень степени $%p$% из единицы. Требуется найти размерность поля $%\mathbb Q(\sqrt[p]2,\varepsilon_p)$% над основным полем, то есть над $%\mathbb Q$%.

Элемент $%\sqrt[p]2$% имеет степень $%p$% над основным полем, так как многочлен $%x^p-2$% неприводим над $%\mathbb Q$% по критерию Эйзенштейна. Поэтому степень данного алгебраического числа над полем рациональных чисел равна $%p$%. Далее, элемент $%\varepsilon_p$% является корнем многочлена $%X^p-1=(X-1)(X^{p-1}+\cdots+X+1)$%, а также корнем многочлена $%X^{p-1}+\cdots+X+1$%, неприводимость которого над $%\mathbb Q$% устанавливается при помощи того же критерия Эйзенштейна. Тем самым, степень элемента $%\varepsilon_p$% над $%\mathbb Q$% равна $%p-1$%.

Из сказанного следует, что степень расширения $%\mathbb Q(\sqrt[p]2,\varepsilon_p)$% не превосходит $%p(p-1)$%. С другой стороны, поскольку поле разложения содержит оба простых алгебраических расширения $%\mathbb Q(\sqrt[p]2)$% и $%\mathbb Q(\varepsilon_p)$% степеней $%p$% и $%p-1$% соответственно, его степень делится как на $%p$%, так и на $%p-1$%. Но это взаимно простые числа, то есть степень расширения делится и на их произведение. Тем самым, она не меньше $%p(p-1)$%. Поэтому она в точности равна $%p(p-1)$%.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 0:45

изменен 6 Янв '16 18:47

Большое Вам спасибо!

(11 Дек '15 1:14) frontier304
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,709
×1,163
×514
×386
×262

задан
10 Дек '15 23:40

показан
810 раз

обновлен
6 Янв '16 18:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru