высшая-математика - Найти размерность над Q...

Как и в предыдущих задачах, число $%p$%, насколько я понимаю, считается простым.

Многочлен $%X^p-2$% имеет комплексные корни вида $%\sqrt[p]2\varepsilon_p^k$%, где $%k=0,1,...,p-1$%, и $%\varepsilon_p=\cos\frac{2\pi}p+i\sin\frac{2\pi}p$% -- первообразный корень степени $%p$% из единицы. Требуется найти размерность поля $%\mathbb Q(\sqrt[p]2,\varepsilon_p)$% над основным полем, то есть над $%\mathbb Q$%.

Элемент $%\sqrt[p]2$% имеет степень $%p$% над основным полем, так как многочлен $%x^p-2$% неприводим над $%\mathbb Q$% по критерию Эйзенштейна. Поэтому степень данного алгебраического числа над полем рациональных чисел равна $%p$%. Далее, элемент $%\varepsilon_p$% является корнем многочлена $%X^p-1=(X-1)(X^{p-1}+\cdots+X+1)$%, а также корнем многочлена $%X^{p-1}+\cdots+X+1$%, неприводимость которого над $%\mathbb Q$% устанавливается при помощи того же критерия Эйзенштейна. Тем самым, степень элемента $%\varepsilon_p$% над $%\mathbb Q$% равна $%p-1$%.

Из сказанного следует, что степень расширения $%\mathbb Q(\sqrt[p]2,\varepsilon_p)$% не превосходит $%p(p-1)$%. С другой стороны, поскольку поле разложения содержит оба простых алгебраических расширения $%\mathbb Q(\sqrt[p]2)$% и $%\mathbb Q(\varepsilon_p)$% степеней $%p$% и $%p-1$% соответственно, его степень делится как на $%p$%, так и на $%p-1$%. Но это взаимно простые числа, то есть степень расширения делится и на их произведение. Тем самым, она не меньше $%p(p-1)$%. Поэтому она в точности равна $%p(p-1)$%.