1
1

Новая задача, которую так же взял из учебника Кострикин

Хотелось бы узнать это доказательство, а так же еще учебник, где можно было бы про это еще почитать, а то что-то с учебником Кострикина плохо получается...

http://s013.radikal.ru/i322/1512/dc/49dc6ef41fd5.png

задан 11 Дек '15 1:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим поле разложения $%K$% многочлена $%X^p-a$% над полем $%P$% характеристики $%p$%. В этом поле многочлен имеет некоторый корень $%c\in K$%. Тогда $%(X-c)^p=X^p-c^p=X^p-a$%. Здесь было использовано то, что при разложении по биномиальной формуле выражения $%(X-c)^p$% все промежуточные коэффициенты вида $%C_p^k$% при $%1\le k < p$% сокращаются, так как они делятся на (простое) число $%p$%.

Получается, что над $%K$% многочлен $%X^p-a$% представляется в виде $%p$%-й степени линейного многочлена. Если $%c\in P$%, то такое разложение имеет место и над полем $%P$%. Осталось доказать, что при $%c\notin P$% многочлен неприводим над $%P$%.

Предположим, что это не так, и над полем $%P$% имеет место нетривиальное разложение на множители вида $%X^p-a=f(X)g(X)$%, где степень $%f$% принимает значение $%1\le k < p$%. Поскольку разложение на неприводимые сомножители над любым полем единственно, оба многочлена $%f(X)$% и $%g(X)$% являются произведениями тех же самых линейных сомножителей вида $%X-c$%, на которые разлагается их произведение над полем $%K$%. Следовательно, $%f(X)=(x-c)^k$%. Сумма корней равна $%kc$%, и по теореме Виета она является коэффициентом многочлена $%f(X)$% при $%x^{k-1}$% с точностью до знака. Но $%f(X)\in P[X]$%, поэтому все его коэффициенты принадлежат полю $%P$%. В частности, $%kc\in P$%. Ввиду того, что элемент $%k$% обладает обратным в простом подполе $%\mathbb Z_p$%, он обратим в $%P$%, откуда $%c\in P$%. Последнее противоречит сделанному выше предположению, и тем самым неприводимость многочлена доказана.

Что касается учебников: дело в том, что здесь сами задачи относительно трудные, но сведений из Кострикина (в рамках алгебры и теории чисел) для их решения объективно достаточно (а то бы их и не предлагали, или сопроводили бы указаниями). Другие известные мне учебники ничем не лучше в этом смысле, а многие из них даже хуже, потому как более "абстрактны". Какие-то дополнительные сведения из теории здесь не требуются, и в решении такого сорта задач можно рекомендовать разве что практиковаться. Это подобно умению играть в шахматы: сами правила, а также какие-то основные сведения об игре знают все.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 2:09

Огромное спасибо!

(11 Дек '15 11:39) frontier304

@falcao, Возникли маленькие вопросы, как мы получили, что сумма корней равна 'kc', и как мы именно тут используем теорему Виета?

(2 Янв '16 23:28) frontier304

@frontier304: по теореме Виета, сумма корней многочлена $%n$%-й степени $%a_0x^n+a_1^{n-1}+...$% равна $%-a_1/a_0$%. Для многочлена $%(x-c)^k$% сумма корней буквально равна $%c+c+...+c=kc$%, то есть тут всё очевидно даже напрямую, без теоремы Виета. А если раскрыть скобки в произведении $%(x-c)^k$%, то получится $%x^k-kcx^{k-1}+...$%, и то же самое получается с применением теоремы.

(2 Янв '16 23:57) falcao

@falcao, спасибо!

(3 Янв '16 0:06) frontier304

@falcao, и еще одно, никак не могу понять, почему коэффициенты будут сокращаться. Можете, пожалуйста, объяснить как-то?

(3 Янв '16 2:15) frontier304

@frontier304: сочетания, о которых идёт речь, делятся на p. Поэтому по модулю p они равны нулю. Это и значит, что они сокращаются.

(3 Янв '16 2:55) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,468
×885
×485
×293
×220

задан
11 Дек '15 1:19

показан
311 раз

обновлен
3 Янв '16 2:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru