высшая-математика - Имеются 2 возможности:

Рассмотрим поле разложения $%K$% многочлена $%X^p-a$% над полем $%P$% характеристики $%p$%. В этом поле многочлен имеет некоторый корень $%c\in K$%. Тогда $%(X-c)^p=X^p-c^p=X^p-a$%. Здесь было использовано то, что при разложении по биномиальной формуле выражения $%(X-c)^p$% все промежуточные коэффициенты вида $%C_p^k$% при $%1\le k < p$% сокращаются, так как они делятся на (простое) число $%p$%.

Получается, что над $%K$% многочлен $%X^p-a$% представляется в виде $%p$%-й степени линейного многочлена. Если $%c\in P$%, то такое разложение имеет место и над полем $%P$%. Осталось доказать, что при $%c\notin P$% многочлен неприводим над $%P$%.

Предположим, что это не так, и над полем $%P$% имеет место нетривиальное разложение на множители вида $%X^p-a=f(X)g(X)$%, где степень $%f$% принимает значение $%1\le k < p$%. Поскольку разложение на неприводимые сомножители над любым полем единственно, оба многочлена $%f(X)$% и $%g(X)$% являются произведениями тех же самых линейных сомножителей вида $%X-c$%, на которые разлагается их произведение над полем $%K$%. Следовательно, $%f(X)=(x-c)^k$%. Сумма корней равна $%kc$%, и по теореме Виета она является коэффициентом многочлена $%f(X)$% при $%x^{k-1}$% с точностью до знака. Но $%f(X)\in P[X]$%, поэтому все его коэффициенты принадлежат полю $%P$%. В частности, $%kc\in P$%. Ввиду того, что элемент $%k$% обладает обратным в простом подполе $%\mathbb Z_p$%, он обратим в $%P$%, откуда $%c\in P$%. Последнее противоречит сделанному выше предположению, и тем самым неприводимость многочлена доказана.

Что касается учебников: дело в том, что здесь сами задачи относительно трудные, но сведений из Кострикина (в рамках алгебры и теории чисел) для их решения объективно достаточно (а то бы их и не предлагали, или сопроводили бы указаниями). Другие известные мне учебники ничем не лучше в этом смысле, а многие из них даже хуже, потому как более "абстрактны". Какие-то дополнительные сведения из теории здесь не требуются, и в решении такого сорта задач можно рекомендовать разве что практиковаться. Это подобно умению играть в шахматы: сами правила, а также какие-то основные сведения об игре знают все.