высшая-математика - Доказать, что неприводимый многочлен...

Фактически, это вариация на тему предыдущей задачи про многочлен $%X^p-a$%. Там было установлено, что все корни многочлена совпадают, а для доказательства неприводимости достаточно проверить то, что многочлен не имеет корней в поле рациональных функций от переменной $%Y$%.

Предположим, что такой корень имеется. Тогда существуют многочлены $%f(Y)$% и $%g(Y)$% над $%\mathbb Z_p$% такие, что $%\left(\frac{f(Y)}{g(Y)}\right)^p=Y$% в поле рациональных функций $%\mathbb Z_p(Y)$%. При этом дробь $%\frac{f(Y)}{g(Y)}$% можно считать несократимой, то есть НОД числителя и знаменателя равен 1.

Далее рассуждение напоминает школьное доказательство иррациональности квадратного корня из двух (аналогия связана с тем, что здесь фактически будет установлено, что $%\sqrt[p]Y$% не есть рациональная функция от $%Y$%).

Ввиду того, что $%f(Y)^p=Yg(Y)^p$%, левая часть делится на $%Y$%. Это значит, что у $%f(Y)^p$% свободный член равен нулю. Тогда он равен нулю и у $%f(Y)$%, откуда $%f(Y)=Yh(Y)$% для некоторого многочлена $%h$% над основным полем. Тогда после подстановки в предыдущее равенство, оказывается, что $%Y^{p-1}h(Y)^p=g(Y)^p$%, и из тех же соображений получается, что $%g(Y)$% тоже делится на $%Y$%. Дробь оказалась сократимой, вопреки предположению.