Еще одна интересная задача из Кострикина, которая так же не получилась...

Прошу у вас помощи.

http://s017.radikal.ru/i401/1512/b3/af1c5fe7981b.png

задан 11 Дек '15 1:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Фактически, это вариация на тему предыдущей задачи про многочлен $%X^p-a$%. Там было установлено, что все корни многочлена совпадают, а для доказательства неприводимости достаточно проверить то, что многочлен не имеет корней в поле рациональных функций от переменной $%Y$%.

Предположим, что такой корень имеется. Тогда существуют многочлены $%f(Y)$% и $%g(Y)$% над $%\mathbb Z_p$% такие, что $%\left(\frac{f(Y)}{g(Y)}\right)^p=Y$% в поле рациональных функций $%\mathbb Z_p(Y)$%. При этом дробь $%\frac{f(Y)}{g(Y)}$% можно считать несократимой, то есть НОД числителя и знаменателя равен 1.

Далее рассуждение напоминает школьное доказательство иррациональности квадратного корня из двух (аналогия связана с тем, что здесь фактически будет установлено, что $%\sqrt[p]Y$% не есть рациональная функция от $%Y$%).

Ввиду того, что $%f(Y)^p=Yg(Y)^p$%, левая часть делится на $%Y$%. Это значит, что у $%f(Y)^p$% свободный член равен нулю. Тогда он равен нулю и у $%f(Y)$%, откуда $%f(Y)=Yh(Y)$% для некоторого многочлена $%h$% над основным полем. Тогда после подстановки в предыдущее равенство, оказывается, что $%Y^{p-1}h(Y)^p=g(Y)^p$%, и из тех же соображений получается, что $%g(Y)$% тоже делится на $%Y$%. Дробь оказалась сократимой, вопреки предположению.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 2:22

Большое спасибо!

(11 Дек '15 11:38) frontier304

@falcao, почему $$ f(Y)^p $$ делится на Y?

(12 Янв '16 16:42) frontier304

@frontier304: ответ тривиален. Потому что f(Y)^p равно Yg(Y)^p, а здесь имеется в явном виде множитель Y. Поэтому оно и делится на Y.

(12 Янв '16 17:07) falcao

@falcao, а мы поняли, что свободный член у $$ f(Y)^p $$ равен нулю, потому что он делится на Y?

(12 Янв '16 20:28) frontier304

@frontier304: здесь использованы самые элементарные свойства многочленов. Если свободный член равен нулю, то многочлен делится на Y, и наоборот. Это очевидно на уровне начальных классов.

(12 Янв '16 22:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,567
×1,014
×497
×339
×246

задан
11 Дек '15 1:20

показан
574 раза

обновлен
12 Янв '16 22:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru