Вспомнил про несколько задач,которые когда-то не получались. Не могли бы вы их объяснить? Прошу у вас помощи.

Заранее спасибо!

http://i004.radikal.ru/1512/b2/654daa1f36b4.png

задан 11 Дек '15 11:49

10|600 символов нужно символов осталось
7

Сначала покажем, что этот идеал максимальный. Хорошо известно, что идеал $%I$% кольца коммутативного кольца с единицей $%R$% максимальный тогда и только тогда, когда фактор-кольцо $%R/I$% есть поле. Надо сообразить чему изоморфно кольцо $%Q_M(\mathbb{Z})/J$%. Пусть $%\frac{a}{b}\in Q_M(\mathbb{Z})$%, тогда (поделив $%a$% на $%p$% с остатком) мы можем записать: $%\frac{a}{b} = \frac{qp+r}{b} = \frac{r}{b}+\frac{qp}{b}$%, значит $%\frac{a}{b}=\frac{r}{b}\mod J$%. Т.к. $%a=r \mod p$%, то из этого легко следует, что $%Q_M(\mathbb{Z})/J\simeq \mathbb{Z}_p$%, т.е. $%J$% есть максимальный идеал.

Покажем теперь, что он единственный.

Хорошо известно, что радикал Джекобсона $%J(R)$% кольца с единицей $%R$% есть пересечение всех максимальных идеалов этого кольца. Т.о. на осталось доказать, что $%J(Q_M(\mathbb{Z}))=J$% (если $%J$% не единственный максимальный, то радикал Джекобсона будет строго меньше $%J$%).

Хорошо известно, что элемент $%x$% принадлежит $%J(R)$% тогда и только тогда, когда для любого $%y\in R$% элемент $%1-yx$% обратим в $%R$%. Проверим это свойство для элемента из $%J$%. Пусть $%\frac{a}{b}\in J$% и $%\frac{c}{d}$% --- произвольный элемент из $%Q_M(\mathbb{Z})$%, тогда имеем: $%1-\frac{c}{d}\cdot\frac{a}{b} =\frac{bd-ac}{bd}$%, где числитель не делится на $%p$%, значит этот элемент обратим.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 12:16

изменен 11 Дек '15 12:25

Спасибо за ответ! А можно ли это доказать как-то, не используя радикал Джекобсона? Потому что в Кострикине(именно в этом параграфе) про него ничего не сказано... Либо я это пропустил.

(11 Дек '15 13:19) frontier304
2

@Andrew542: да, тут можно добавить несколько слов, чтобы не ссылаться прямо на понятие радикала Джекобсона. Предположим, что $%I$% -- максимальный идеал, отличный от $%J$%. Тогда $%R/I$% -- поле, а в нём любой ненулевой элемент обратим. Рассмотрим $%x\in J\setminus I$%. Такой элемент имеется, так как идеалы не совпадают. Тогда $%x+I$% обратим в поле, и пусть $%y+I$% -- обратный. Это значит, что $%1-xy\in I$%. Но @Tzara дал доказательство обратимости этого элемента в $%R$%. Тогда такой элемент не может принадлежать собственному идеалу $%I$%.

(11 Дек '15 15:52) falcao

@falcao Тогда немного не понял, как правильно доказать. Не могли бы вы полностью написать исправленное доказательство? Если вам несложно.

(11 Дек '15 17:39) frontier304

@Andrew542: это не исправленное доказательство (у @Tzara всё верно), а комментарий по поводу того, как обойтись без понятия радикала Джекобсона, сделанный по Вашему "запросу".

То доказательство, которое я добавил, является полным (с моей точки зрения). Допускаю, что оно не очень простое, и что при первом чтении в нём трудно разобраться. Но такова природа самой задачи: здесь надо хорошо владеть основными понятиями. Всегда, когда Вам что-либо непонятно, нужно задавать конкретные уточняющие вопросы. Типа: "почему верно вот это?", "почему из X следует Y?", "что значит такое-то слово?" и т.п.

(11 Дек '15 22:14) falcao

Хорошо. Большое спасибо! Буду разбираться до конца тогда.

(12 Дек '15 0:12) frontier304

@falcao, Почему из этого следует? ( Т.к. $$a=r \mod p$$, то из этого легко следует...)

(6 Янв '16 0:14) frontier304

@frontier304: формально там происходит следующее. Каждому элементу кольца, то есть дроби вида $%a/b$%, сопоставляется остаток $%r$% от деления $%a$% на $%p$%, то есть элемент из $%\mathbb Z_p$%. Непосредственно проверяется, что этим задаётся гомоморфизм колец (можете проверить сами, что сумма переходит в сумму, а произведение в произведение). Ядром этого гомоморфизма будет идеал $%J$%, и далее применяем теорему о гомоморфизмах колец.

(6 Янв '16 1:12) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,712
×1,171
×514
×391
×263

задан
11 Дек '15 11:49

показан
565 раз

обновлен
6 Янв '16 1:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru