высшая-математика - В локальном кольце элементы обратимы

Насколько я понимаю, кольца здесь рассматриваются только коммутативные -- это, наверное, где-то раньше было оговорено.

Пусть $%R$% -- коммутативное кольцо с единицей, и $%M$% -- его единственный максимальный идеал. Рассмотрим произвольный элемент $%x\notin M$%. Он порождает главный идеал $%I=(x)=\{xa\mid a\in R\}$%. Если этот идеал совпадает со всем кольцом, то $%1\in I$%, и тогда $%x$% обратим, так как $%1=xa$% для некоторого $%a$% из $%R$%.

Предположим, что $%I < R$%, то есть $%I$% -- собственный идеал. Из леммы Цорна легко следует стандартный факт о том, что всякий собственный идеал кольца с единицей содержится в некотором максимальном идеале. В данном случае это означает, что $%I\le M$%, так как других максимальных идеалов в кольце нет. Но это даёт противоречие, так как из $%x\in I$% следует $%x\in M$%.

Таким образом, элемент $%x\notin M$% всегда оказывается обратимым.