Еще одна задачка на тему конечных полей. Немного не понимаю, что требуется, и как это доказать...

Очень хочется разобраться в этой теме...

Сама задача

Отсылка от задачи(10)

Заранее спасибо!

задан 11 Дек '15 18:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Насколько я понимаю, это фрагмент доказательства теоремы Веддербарна о конечных телах. К этому моменту уже определены круговые многочлены $%\Phi_n(z)$%, и требуется доказать, что при $%n > 1$% целое число $%\Phi_n(q)$% не может оказаться делителем числа $%q-1$% ни при каком натуральном $%q > 1$%.

Рассуждаем от противного. Если верно то, что $%\Phi_n(q)$% делит $%q-1$%, то выполняется неравенство $%|\Phi_n(q)|\le q-1$%. С другой стороны, точка $%q$% на комплексной плоскости находится на расстоянии $%q-1$% от точки $%1$% на единичной окружности, а от остальных её точек она находится дальше. Учитывая то, что $%\Phi_n(z)$% есть произведение двучленов вида $%z-\zeta$%, где $%\zeta$% -- примитивный корень из единицы степени $%n$%, мы приходим к выводу, что $%|\Phi_n(z)|$% равен произведению модулей вида $%|z-\zeta|$%.

Поскольку при $%n > 1$% число $%1$% не является примитивным корнем степени $%n$% из единицы, имеет место неравенство $%|q-\zeta| > q-1$%, как было отмечено выше. Следовательно, число $%|\Phi_n(q)|$% равно произведению одного или нескольких чисел, каждое из которых по модулю строго больше $%q-1$%, то есть $%|\Phi_n(q)| > q-1$%, и мы приходим к противоречию.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,713
×1,174
×514
×391
×264

задан
11 Дек '15 18:35

показан
366 раз

обновлен
11 Дек '15 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru