Пусть $%f(t)=0\ где\ t\in R$%. Доказать, что уравнение $%f(t)=6te^t-1$% имеет единственное решение и найти отрезок, которому принадлежит это решение

задан 11 Дек '15 22:02

10|600 символов нужно символов осталось
0

Само утверждение можно доказать и обычными методами, но здесь речь идёт о применении принципа сжимающих отображений, поэтому рассмотрим именно такой способ.

Прежде всего, легко видеть, что $%t > 0$%, а также то, что $%1=6te^t < 6te^0$%, то есть $%t < \frac16$%. Поэтому все решения, если они есть, принадлежат промежутку $%t\in(0;\frac16)$%.

Для применения метода нужно сначала привести уравнение к виду $%t=F(t)$%, где $%F(t)$% -- подходящего вида функция. Для данного уравнения напрашивается вид $%t=\frac16e^{-t}$%. Отображение, заданное формулой $%F(t)=\frac16e^{-t}$%, будет сжимающим. Действительно, $%|F'(t)|=\frac16e^{-t}\le\frac16$% при $%t\ge0$%. В силу теоремы Лагранжа, имеет место неравенство $%|F(t_1)-F(t_2)|=|F'(\xi)|\cdot|t_1-t_2|\le\frac16|t_1-t_2|$%, где коэффициент сжатия $%k=\frac16$% меньше единицы.

Беря начальное значение $%t_0=0$% и далее полагая $%t_{n+1}=F(t_n)$% при $%n\ge0$%, мы довольно быстро можем найти решение уравнения с любой заданной точностью. Единственность решения следует из общей теории. Приближённое значение корня с 10 знаками после запятой составляет $%t\approx0.1442749507$%.

ссылка

отвечен 11 Дек '15 23:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×106

задан
11 Дек '15 22:02

показан
623 раза

обновлен
11 Дек '15 23:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru