отображения - Сжимающее отображение

Само утверждение можно доказать и обычными методами, но здесь речь идёт о применении принципа сжимающих отображений, поэтому рассмотрим именно такой способ.

Прежде всего, легко видеть, что $%t > 0$%, а также то, что $%1=6te^t < 6te^0$%, то есть $%t < \frac16$%. Поэтому все решения, если они есть, принадлежат промежутку $%t\in(0;\frac16)$%.

Для применения метода нужно сначала привести уравнение к виду $%t=F(t)$%, где $%F(t)$% -- подходящего вида функция. Для данного уравнения напрашивается вид $%t=\frac16e^{-t}$%. Отображение, заданное формулой $%F(t)=\frac16e^{-t}$%, будет сжимающим. Действительно, $%|F'(t)|=\frac16e^{-t}\le\frac16$% при $%t\ge0$%. В силу теоремы Лагранжа, имеет место неравенство $%|F(t_1)-F(t_2)|=|F'(\xi)|\cdot|t_1-t_2|\le\frac16|t_1-t_2|$%, где коэффициент сжатия $%k=\frac16$% меньше единицы.

Беря начальное значение $%t_0=0$% и далее полагая $%t_{n+1}=F(t_n)$% при $%n\ge0$%, мы довольно быстро можем найти решение уравнения с любой заданной точностью. Единственность решения следует из общей теории. Приближённое значение корня с 10 знаками после запятой составляет $%t\approx0.1442749507$%.