Доказать, что для любой непрерывной функции f: [0; 1] —> [0; 1]

существует неподвижная точка, т.е. такое c из [0; 1], что f(c) = c.

Просится топологическое решение. Точно уже не помню из какого взял учебника... Но доказательство в нем отсутствовало. Было на самостоятельный разбор.

задан 12 Дек '15 0:21

1

Если f(0)=0 или f(1)=1, то неподвижная точка найдена. Предположим, что f(0) > 0 и f(1) < 1. Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-x. Она непрерывна, и при этом g(0) > 0, g(1) < 0, то есть на концах отрезка она принимает значения разных знаков. Тогда в какой-то точке интервала она обращается в ноль, и это будет искомая точка c, для которой g(c)=f(c)-c=0.

(12 Дек '15 0:47) falcao

@falcao, Как говорится в учебнике, необходимо решение, которое будет использовать понятия (открытое и замкнутое множество, связность, компактность...)

Такое решение как раз и было в примере к задаче :)

(12 Дек '15 0:49) frontier304
1

@Andrew542: ну, это всё "перепевы" того же самого, хотя в учебных целях можно предложить и что-то другое. Допустим, что неподвижных точек нет. Тогда для любой точки отрезка либо f(x)>x, либо f(x)<x. Поскольку f непрерывна, оба множества открыты. Получается, что отрезок представлен в виде объединения двух открытых множеств, которые попарно не пересекаются. Оба множества непусты, и тогда это противоречит тому, что отрезок связен.

(12 Дек '15 3:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,824
×560
×500
×379
×267

задан
12 Дек '15 0:21

показан
302 раза

обновлен
12 Дек '15 3:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru