Найти все гомоморфизмы из $%(\mathbb{Q},+)$% в произвольную конечную группу.

задан 1 Окт '12 20:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Может, я ошибаюсь, но похоже образом может быть только тривиальная (нулевая) группа.

Предположим, что образ - группа из n элементов. Для определенности будем обозначать групповую операцию как сложение. Известно, что в конечной группе для любого элемента $%a$% имеем $%a + a + ... + a = \theta$%, где $%\theta$% - нулевой элемент, а в сумме ровно n слагаемых.

Для любого $%p\in \mathbb{Q}$% рассмотрим элемент $%p/n$%, пусть его образом является $%a$%. Тогда образом элемента $%p = {p\over n} + {p\over n} +...+ {p\over n}$% (n слагаемых) является $%a + a + ... + a = \theta$%. В силу произвольности $%p$% вся группа отображается в элемент $%\theta$%.

ссылка

отвечен 2 Окт '12 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим, например, циклическую группу второго порядка $%G=\left\{ e,a,\ast \right\}$%, где $%e$% - нейтральный элемент, $%a$% - элемент порядка $%2$%, $%\ast$% - групповая операция. Возможно тривиальное гомоморфное отображение группы рациональных чисел на группу $%G$% ($%\forall x\in Q\longrightarrow e\in G$%). Других гомоморфных отображений на эту группу нет: при любом разбиении множества рациональных чисел на два множества, невозможно найти такое гомоморфное отображение $%\varphi$%, чтобы выполнялось условие $%\varphi(x+y)=\varphi(x)\ast\varphi(y)$% для всех пар $%x,y\in Q$%. Очевидно, что и отображение $%\forall x\in Q\longrightarrow a\in G$% не является гомоморфным. Возможно только тривиальное гомоморфное отображение для этого примера.

ссылка

отвечен 2 Окт '12 12:23

изменен 2 Окт '12 13:15

Я не поняла, Вы доказали, что нет другого гомоморфизма на эту группу или вообще? Я, вроде, показала, что вообще нет другого.

(2 Окт '12 14:01) DocentI

Кроме тривиального. Других нет. Я кажется ясно расписал. Раз нет для группы второго порядка, то , можно считать, что есть ответ на поставленный вопрос. У Вас сделано предположение о том, что порядок элемента группы равен порядку группы - это не всегда так.

(2 Окт '12 14:16) Anatoliy
1

@Anatoliy, @Docenti пользуется не тем, что порядок элемента равен порядку группы, а тем что он на него делится, а это уже верно.

(2 Окт '12 18:55) dmg3

"Предположим, что образ - группа из n элементов ...Известно, что в конечной группе для любого элемента a имеем a+a+...+a=θ, где θ - нулевой элемент, а в сумме ровно n слагаемых" Как это понимать? Все-таки лучше говорить о решении (правильное, неправильное и почему).

(2 Окт '12 19:08) Anatoliy

@aapetrov совершенно прав: порядок элемента есть делитель порядка группы, значит, $%n\cdot a = \theta$%. А почему исследование, подходящее для элемента порядка 2 подходит и для любого другого элемента (группы)?

(2 Окт '12 21:03) DocentI

@Anatoliy, формулировка "произвольную конечную группу" означает не то, что вы сами можете выбрать группу, а то, что вопрос нужно исследовать для всех конечных групп.

(2 Окт '12 21:09) dmg3

К тому же, вы не объяснили, почему не существует гомоморфизма, переводящего часть элементов в а, а часть в е.

(2 Окт '12 21:14) dmg3

Для @Docenti. Что Вы понимаете под порядком элемента группы? Я считаю, что это пустые комментарии. Позвольте откланяться.

(3 Окт '12 10:24) Anatoliy

Да, я неудачно выразилась. "Для элемента другого порядка и вообще для другой группы". Не надо подозревать меня в невежестве!

(3 Окт '12 17:06) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×602

задан
1 Окт '12 20:19

показан
1695 раз

обновлен
3 Окт '12 17:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru