Пожалуйста, помогите разобраться с некоторыми пунктами в вычислении пределов.

$$\lim_{n \longrightarrow \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$

Находим значение выражения: оно равно 0. Далее по формуле

$$\lim_{n} (A_n) = A, |A_n - A| < ε$$

Доходим до такого пункта:

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}<ε$$

  1. Почему мы можем предположить, что если $%1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$% меньше эпсилон, то и $%1/\sqrt{n}$% будет меньше?
  2. Что такое $%N(ε)$% и как оно расположено на оси координат по отношению к $%ε$%?

задан 2 Окт '12 20:39

изменен 2 Окт '12 21:06

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

По определению предела, $%lima_n=a$%, если $%\forall\epsilon>0\exists n:\forall k>n |a_k-a|<\epsilon$%. Чтобы доказать, что предел вашей последовательности равен 0, для каждого $%\epsilon$% нужно указать соответствующее $%n$%. Скорее всего имеется ввиду, что мы выбираем $%n$% так, чтобы $%\forall k>n \frac{1}{\sqrt k}<\epsilon$%. Так как $%\forall k\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt k}$%, то данное $%n$% подходит и для вашей последовательности. Под $%N(\epsilon)$% здесь, видимо, подразумевается данное $%n$%.

ссылка

отвечен 2 Окт '12 20:52

изменен 3 Окт '12 21:45

Спасибо за хороший пример околоматематического камлания.

(3 Окт '12 11:01) Галактион
1

Извините, @Галактион, вы видимо не привыкли к решениям с такой большой концентрацией русских слов.

(3 Окт '12 21:45) dmg3

Dear aapetrov3, я не возражаю, чтобы Вы вставляли в Ваши решения и доказательства ["с такой большой концентрацией русских слов"] ремарки типа "стучу в бубен".

(3 Окт '12 22:41) Галактион

Давайте побольше конструктивной критики.

(3 Окт '12 23:00) dmg3

Dear aapetrov3, я не планирую критиковать Ваше "решение с такой большой концентрацией русских слов".

(3 Окт '12 23:12) Галактион

Почему же тогда вы считаете это камланием?

(3 Окт '12 23:16) dmg3

Dear aapetrov3, если у Вас есть логическое мышление, тогда Вы сами догадаетесь.

(3 Окт '12 23:31) Галактион

@aapetrov3, не ввязывайтесь в диалог с Галактионом. Проверено: чувство юмора у товарища отсутствует, а потребность высказаться чрезмерная.

(4 Окт '12 0:12) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Вам наверное нужно показать, что $$\lim_{ n\rightarrow \infty}{(\sqrt {n+1 } -\sqrt { n } )}=0?$$ Если так, то нужно воспользоваться определением предела последовательности. Последовательность $%a_n$% имеет конечный предел $%b$%, если для любого $%\varepsilon >0$% (предполагается, что это число может быть как угодно маленьким) существует такое натуральное число $%N$%, что все члены последовательности с номерами большими $%N$% находятся в промежутке $%(b-\varepsilon;b+\varepsilon)$%. Поэтому, когда доказывают, что данное число есть пределом последовательности поступают так: задаются $%\varepsilon >0$% и находят для него $%N$%, которое в общем случае зависит от $%\varepsilon $%. В Вашем примере это будет выглядеть так:

  1. $%b=0.$%
  2. $%\varepsilon >0$%
  3. $%|\sqrt {n+1 } -\sqrt { n } -0|<\varepsilon\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt {n+1 } +\sqrt { n }}<\varepsilon.$%
  4. $%\frac{1}{\sqrt {n+1 } +\sqrt { n }}<\frac{1}{2\sqrt { n }}.$%
  5. Если выполняется неравенство $%\frac{1}{2\sqrt n }<\varepsilon$%, то выполняется и неравенство п.3.
  6. Из неравенства п.5. получаем $%n>\frac{1}{4\varepsilon^2}$%.
  7. $%N=[\frac{1}{4\varepsilon^2}]$%.
ссылка

отвечен 2 Окт '12 21:31

изменен 3 Окт '12 12:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

К п. 1. Конечно, не можем этого предположить, да и не нужно. Наоборот, второго неравенства достаточно, чтобы выполнялось первое.
п. 2. N не "расположено на оси координат" относительно $%\varepsilon$%. Оно "на другой оси" - это номер члена последовательности, после которого выполняется нужное неравенство.

ссылка

отвечен 2 Окт '12 21:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×576
×355

задан
2 Окт '12 20:39

показан
961 раз

обновлен
4 Окт '12 0:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru