Сколько решений имеет сравнение x^3+2x+3=0(100)?

задан 15 Дек '15 1:30

10|600 символов нужно символов осталось
0

Отдельно рассмотрим сравнение по модулю 4 и по модулю 25.

Поскольку многочлен разложим на множители: $%x^3+2x+3=(x+1)(x^2-x+3)$%, а второе из чисел нечётно, то $%x\equiv3\pmod4$%.

Теперь рассмотрим сравнение по модулю 25. Легко видеть, что если $%x+1$% делится на 5, то и второй сомножитель тоже делится, так как $%(-1)^2-(-1)+3=5$%. Значит, остатки 4, 9, 14, 19, 24 подходят. Если же $%x+1$% не делится на 5, то $%x^2-x+3$% делится на 25. В частности, это число делится и на 5, а по модулю 5 оно сравнимо с $%x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$%. Тогда $%x+3$% кратно 5. Положим $%x=5y+2$% и подставим в многочлен. Это даст $%25y^2+15y+5$%. Следовательно, $%3y+1$% делится на 5, а это значит, что $%y=5z+3$%. Итого $%x=5(5z+3)+2=25z+17$%, и мы получаем шестое значение остатка, равное 17.

Из соображений китайской теоремы об остатках, получается, что по модулю 100 решений тоже шесть. Их нетрудно выписать: для первых пяти значений $%x+1$% делится на 20, что даёт 19, 39, 59, 79, 99. Для особого значения получается 67 (это 17+25+25; остаток 3 от деления на 4).

ссылка

отвечен 15 Дек '15 2:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×53

задан
15 Дек '15 1:30

показан
1015 раз

обновлен
15 Дек '15 2:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru