теория-вероятностей - Вероятность (карты)

Без подсчётов ясно, что искомая вероятность является достаточно маленькой. Для сравнения можно подсчитать вероятность того, что три карты, извлечённые из исходной колоды, принимают значения ТТД. Общее число способов извлечь три карты равно $%C_{52}^3=22100$%. Из них нам подходят всего $%C_4^2\cdot4=24$%. Вероятность равна $%\frac6{5525}\approx0,00108597$%, то есть порядка одного шанса из тысячи.

После перекладывания вероятность не должна значительно измениться. Понятно, что общий процент дам и тузов в колоде не очень велик, и среднем можно было бы ожидать уменьшения, хотя точно это можно сказать только после подсчёта. Укажем соответствующие формулы.

Введём величины $%p_{km}$% для вероятностей, где $%k$% -- количество тузов среди трёх извлекаемых карт, $%m$% количество дам, и $%3-k-m$% -- количество прочих карт. Общее число способов извлечь три карты было указано выше. Поэтому для данных вероятностей мы получаем такие формулы: $%p_{km}=\dfrac{C_4^kC_4^mC_{44}^{3-k-m}}{C_{52}^3}$%. Всего мы рассматриваем десять величин для значений 00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 20, 21, 30.

Теперь рассмотрим случай, когда в новую колоду переложили $%k$% тузов, $%m$% дам, и $%3-k-m$% прочих карт. Всего карт стало $%55$%, а способов извлечь три карты стало $%C_{55}^3$%. Нас устраивает из них число, равное $%C_{4+k}^2(4+m)$%. Применяя формулу полной вероятности, выражаем ту величину, которую требовалось найти в задаче: $$\dfrac{\sum\limits_{k+m\le3}C_4^kC_4^mC_{44}^{3-k-m}C_{4+k}^2(4+m)}{C_{52}^3C_{55}^3}=\dfrac{647024}{22100\cdot26235}=\dfrac{3052}{2734875}\approx0,00111595.$$

Как мы видим, вероятность чуть увеличилась, но она осталась примерно такой же, то есть около одной тысячной.