Совершенно не могу понять доказательство эквивалентности:

$$\large \vec{a} || \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=\lambda\vec{b}$$

По определению: умножение вектора на число есть вектор коллинеарный исходному, длина которого равна модулю числового множителя, умноженного на длину исходного вектора. Полученный вектор однонаправлен с исходным при положительном знаке множителя и противоположно направлен при отрицательном знаке множителя.

Это определение, насколько я понял, позволяет утверждать, что при умножении вектора на число получаются коллинеарные вектора. Однако это определение никак не комментирует факт возможности представить два коллинеарных вектора, как линейную комбинацию.

Доказать, что если два вектора линейно зависимы, то тогда они коллинеарны очень просто. Однако обратное доказательство я не смог осилить.

Могу привести цитату:

" Пусть вектора a и b коллинеарны. Тогда можно обозначить за лямбда отношение их длин: $$\lambda=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$$ ... Тогда, по определению 1.7 (которое я написал выше), получается, что $$\vec{a}=\lambda\vec{b}$$ "

И вот тут-то я и застрял. Не понимаю последнего предложения.

Мои доводы следующие: мы можем принять за лямбду все что угодно - отношение длин и неколлинеарных векторов. Но, естественно, их нельзя будет представить в виде произведения вектора и числа. Как же быть?

задан 16 Дек '15 18:59

изменен 16 Дек '15 19:12

Вас интересует осознание того, почему рассуждение не проходит для случая неколлинеарных векторов a,b. Будем рассуждать по-простому. Чтобы векторы были равны, нужно, чтобы у них совпадали и длины, и направления. Если векторы не были коллинеарны, то после умножения на $%\lambda$% мы сможем добиться равенства длин. Но направления как были разными, так и останутся. И векторы не будут равны.

А если векторы были коллинеарны, то они имеют либо одинаковое направление, либо противоположное. Во втором случае $%\lambda < 0$%, и после умножения на него направления совпадут. Векторы станут равны.

(16 Дек '15 19:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Умножение вектора на число определяет новый вектор, длина и направление которого определяются следующим образом: $$ \bar{b}=\lambda\cdot \bar{a} \quad\Rightarrow\quad |\bar{b}|=|\lambda|\cdot|\bar{a}|\\ \begin{cases} \lambda > 0 \quad\Rightarrow\quad \bar{b}\uparrow\uparrow \bar{a} \\ \lambda < 0 \quad\Rightarrow\quad \bar{b}\uparrow\downarrow \bar{a} \end{cases} $$

Пусть векторы параллельны (и ненулевые)... Рассматриваете вектор $$ \bar{c}=\frac{|\bar{b}|}{|\bar{a}|}\cdot \bar{a} $$ Для такого вектора справедливо, что $$ \bar{c}\parallel\bar{a}\;\;\&\;\;\bar{a}\parallel\bar{b}\quad\Rightarrow\quad \bar{c}\parallel\bar{b} $$ Кроме того, $$ |\bar{c}| = |\lambda|\cdot|\bar{a}| = \frac{|\bar{b}|}{|\bar{a}|}\cdot |\bar{a}| =|\bar{b}| $$ Осталось сказать, что два параллельных вектора одинаковой длины либо равны, либо противоположны... то есть $$ \bar{b}=\pm\bar{c}=\pm\frac{|\bar{b}|}{|\bar{a}|}\cdot \bar{a} $$ что и требовалось доказать...

ссылка

отвечен 16 Дек '15 19:29

Спасибо. Все очень подробно. Просто ради интереса: транзитивность коллинеарности это аксиома или тоже теорема?

(16 Дек '15 19:43) CMTV

@CMTV: транзитивность коллинеарности векторов следует из транзитивности параллельности прямых. А последняя есть, фактически, аксиома евклидовой геометрии (знаменитый Пятый Постулат у Евклида, в равносильной переформулировке). Если же говорить о доказательстве того, что отношение сонаправленности (векторов или лучей) транзитивно, то это теорема, хотя и не очень сложная.

(16 Дек '15 19:55) falcao

Спасибо большое за пояснение!)

(16 Дек '15 20:36) CMTV
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,721
×785
×12

задан
16 Дек '15 18:59

показан
549 раз

обновлен
16 Дек '15 20:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru