Найдите предел $%\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\bigg(\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt\bigg)^2}{\int\limits_0^x(t^5+1)^{7/5}\,dt}$%.

задан 18 Дек '15 22:14

Примените два раза правило Лопиталя и дело в шляпе...

(18 Дек '15 22:40) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим правило Лопиталя раскрытия неопределённостей типа $%\frac{\infty}{\infty}$%. Для этого перейдём к отношению производных числителя и знаменателя по переменной $%x$%.

В числителе, согласно формуле для производной сложной функции, мы получим $%2\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt\cdot(x^5+1)^{3/5}$%. В знаменателе получится $%(x^5+1)^{7/5}$%. После сокращения дроби получится выражение $%\dfrac{2\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt}{(x^5+1)^{4/5}}$%, предел которого нужно найти. Здесь по-прежнему присутствует неопределённость того же типа, поэтому применим правило Лопиталя ещё один раз.

В числителе получится $%2(x^5+1)^{3/5}$%. В знаменателе будет $%\frac45(x^5+1)^{-1/5}\cdot5x^4$%. Отношение равно $%\dfrac{(x^5+1)^{4/5}}{2x^4}=\frac12(1+x^{-5})^{4/5}$%, что стремится к $%\frac12$% при $%x\to+\infty$%.

ссылка

отвечен 18 Дек '15 22:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,681
×1,287
×752
×143
×73

задан
18 Дек '15 22:14

показан
699 раз

обновлен
18 Дек '15 22:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru