математический-анализ - $%\lim \dfrac{\bigg(\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt\bigg)^2}{\int\limits_0^x(t^5+1)^{7/5}\,dt}$%

Применим правило Лопиталя раскрытия неопределённостей типа $%\frac{\infty}{\infty}$%. Для этого перейдём к отношению производных числителя и знаменателя по переменной $%x$%.

В числителе, согласно формуле для производной сложной функции, мы получим $%2\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt\cdot(x^5+1)^{3/5}$%. В знаменателе получится $%(x^5+1)^{7/5}$%. После сокращения дроби получится выражение $%\dfrac{2\int\limits_0^x(t^5+1)^{3/5}\,dt}{(x^5+1)^{4/5}}$%, предел которого нужно найти. Здесь по-прежнему присутствует неопределённость того же типа, поэтому применим правило Лопиталя ещё один раз.

В числителе получится $%2(x^5+1)^{3/5}$%. В знаменателе будет $%\frac45(x^5+1)^{-1/5}\cdot5x^4$%. Отношение равно $%\dfrac{(x^5+1)^{4/5}}{2x^4}=\frac12(1+x^{-5})^{4/5}$%, что стремится к $%\frac12$% при $%x\to+\infty$%.