|
Задача. Пусть функкця $%f : (a,b) \to R$% выпукла вниз. Доказать, что что $%f$% непрерывна на $%(a,b)$%.
задан 20 Дек '15 15:53 
Malahai |
|
$%\forall t \in [0,1]$% $%f((1-t)x_0+t(x_0+h))\leqslant (1-t)f(x_0)+tf(x_0+h)$% Пусть $%x=x_0+t\cdot h$% $%f(x)\leqslant (1-t)f(x_0)+tf(x_0+h)$% Устремив $%t\to 0$% получим $%\varlimsup_{x \to x_0}f(x) \leqslant f(x_0)$% Докажем теперь, что $%\varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0)$% Пусть $%\{x_k\}$% - последовательность на которой достигается нижний предел. $% 2f(x_0)\leqslant \varliminf_{x \to x_0}f(x) + \varlimsup_{x \to x_0}f(x) \leqslant\varliminf_{x \to x_0}f(x) +f(x_0) \Rightarrow \varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0)$% Т.е. $%\varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0) \geqslant \varlimsup_{x \to x_0}f(x) \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$% отвечен 21 Дек '15 0:27 
spades @spades, поясните, пожалуйста, откуда следует неравенство $%2f(x_0)\leqslant f(x_k)+ f(x_k')$%
(21 Дек '15 2:09)
Malahai
из выпуклости $%2f(x)\leqslant f(x-h)+f(x+h)$%
(21 Дек '15 2:43)
spades
@spades, будьте добры, объясните, почему на последовательности {xk'} (это последовательность точек, симметричных xk относительно x0) достигается верхний предел функции f(x)?
(1 Фев 17:05)
Даниил_Y
1
Здесь не утверждается, что достигается. А используется то, что верхний предел $%f(x_k')$% будет не больше верхнего предела $%f(x)$%. Из тривиальных соображений
(2 Фев 11:39)
spades
Понял, спасибо большое!
(2 Фев 11:49)
Даниил_Y
|
Как можно начать док-во?