Задача. Пусть функкця $%f : (a,b) \to R$% выпукла вниз. Доказать, что что $%f$% непрерывна на $%(a,b)$%.


  • Определение. Функция $%f : (a,b) \to R$% называется выпуклой вниз, если каждая точка любой хорды к графику функции $%f $% лежит не ниже графика $%f$%.
  • Условие выпуклости вниз функции $%f$% на $%(a,b)$% записывается так: $$ \forall x_{1}, x_{2} \in [a,b] \forall t \in [0,1] \hookrightarrow f(tx_{1} + (1-t)x_{2}) \leq tf(x_{1}) + (1-t)f(x_{2}) $$

задан 20 Дек '15 15:53

Как можно начать док-во?

(20 Дек '15 20:40) Malahai
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\forall t \in [0,1]$% $%f((1-t)x_0+t(x_0+h))\leqslant (1-t)f(x_0)+tf(x_0+h)$%

Пусть $%x=x_0+t\cdot h$%

$%f(x)\leqslant (1-t)f(x_0)+tf(x_0+h)$%

Устремив $%t\to 0$% получим $%\varlimsup_{x \to x_0}f(x) \leqslant f(x_0)$%

Докажем теперь, что $%\varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0)$%

Пусть $%\{x_k\}$% - последовательность на которой достигается нижний предел.
$%x'_k$% - точки, симметричные $%x_k$% относительно $%x_0$%
$% 2f(x_0)\leqslant f(x_k)+ f(x_k')$%

$% 2f(x_0)\leqslant \varliminf_{x \to x_0}f(x) + \varlimsup_{x \to x_0}f(x) \leqslant\varliminf_{x \to x_0}f(x) +f(x_0) \Rightarrow \varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0)$%

Т.е. $%\varliminf_{x \to x_0}f(x) \geqslant f(x_0) \geqslant \varlimsup_{x \to x_0}f(x) \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$%

ссылка

отвечен 21 Дек '15 0:27

изменен 21 Дек '15 0:45

@spades, поясните, пожалуйста, откуда следует неравенство $%2f(x_0)\leqslant f(x_k)+ f(x_k')$%

(21 Дек '15 2:09) Malahai

из выпуклости $%2f(x)\leqslant f(x-h)+f(x+h)$%

(21 Дек '15 2:43) spades

@spades, будьте добры, объясните, почему на последовательности {xk'} (это последовательность точек, симметричных xk относительно x0) достигается верхний предел функции f(x)?

(1 Фев 17:05) Даниил_Y
1

Здесь не утверждается, что достигается. А используется то, что верхний предел $%f(x_k')$% будет не больше верхнего предела $%f(x)$%. Из тривиальных соображений

(2 Фев 11:39) spades

Понял, спасибо большое!

(2 Фев 11:49) Даниил_Y
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,351
×58
×46

задан
20 Дек '15 15:53

показан
2269 раз

обновлен
2 Фев 12:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru