3
1

По кругу написаны 29 ненулевых цифр. Из каждой пары соседних цифр составили двузначное число (при обходе по часовой стрелке первая цифра - число десятков, вторая - число единиц). Могло ли произведение получившихся 29 чисел быть полным квадратом натурального числа?

задан 21 Дек '15 14:23

1

Во втором варианте районки вместо 29 было 23.

(21 Дек '15 14:48) knop
10|600 символов нужно символов осталось
3

Немного поманипулировав с подбором чисел, можно придумать пример следующих семи цифр (здесь важна нечётность количества), расположенных по кругу: 4963216. Соответствующие произведения двузначных дают $%49\cdot96\cdot63\cdot32\cdot21\cdot16\cdot64=7^2\cdot2^53^1\cdot3^27^1\cdot2^5\cdot3^17^1\cdot2^4\cdot2^6=2^{20}3^47^4=(2^{10}3^27^2)^2$%. Теперь достаточно к имеющейся единице добавить ещё 22 штуки, и тогда произведение домножится на $%11^{22}$%, оставаясь точным квадратом.

ссылка

отвечен 22 Дек '15 10:26

10|600 символов нужно символов осталось
5

Запишем цифры $%17511...1$% (все, кроме 7 и 5, - единицы). Произведение двузначных равно $%17 \cdot 75 \cdot 51 \cdot 11^{26}$%. Осталось убедиться, что $%17 \cdot75\cdot51 = 17^2 \cdot 5^2 \cdot 3^2$% - точный квадрат.

ссылка

отвечен 22 Дек '15 14:52

изменен 22 Дек '15 14:54

1

@knop: да, с тремя числами 175 пример, конечно, проще. Я как-то изначально не стал рассматривать "большие" простые делители, а для "небольших" потребовалось 7 цифр.

(22 Дек '15 18:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

А у меня проще! 52525252525252525252525252527 То есть, пишем 14 раз подряд число 52, а затем семёрку - и тело в шляпе! Наше произведение раскладывается на множители таким образом: 14 чисел 52 (это квадрат, так как получается 52 в 4-й степени), 13 чисел 25 (это тоже квадрат, так как само число 25 - квадрат), ну и остались 27 и 75, а их произдевение - тоже квадрат (так как равно 3 в 4-й на 5 во 2-й)!

ссылка

отвечен 22 Дек '16 17:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,152
×1,040
×23

задан
21 Дек '15 14:23

показан
1375 раз

обновлен
22 Дек '16 17:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru