Докажите, что при положительных x справедливо равенство $%\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}}$%, где $%\frac{1}{4}\lt \theta(x)\lt \frac{1}{2}$%. Найдите $%\lim\limits_{x\to0+}\theta(x)$% и $%\lim\limits_{x\to+\infty}\theta(x)$%.

задан 21 Дек '15 15:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Справедливость данного равенства для некоторого $%\theta(x)\in(0;1)$% следует из теоремы Лагранжа.

Здесь в явном виде можно выразить $%\theta(x)$%. Для обратных величин получается $%\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=2\sqrt{x+\theta(x)}$%. Обе части неотрицательны; при возведении в квадрат получается равносильное равенство $%2x+1+2\sqrt{x^2+x}=4x+4\theta(x)$%, где $%x > 0$%. Отсюда $%4\theta(x)=2(\sqrt{x^2+x}-x)+1=\frac{2x}{\sqrt{x^2+x}+x}+1=\frac2{\sqrt{1+x^{-1}}+1}+1$%. Понятно, что выражение в правой части больше 1 и меньше 2 за счёт $%x^{-1} > 0$%. Отсюда следует, что $%\frac14 < \theta(x) < \frac12$%.

Пределы также легко вычисляются. При $%x\to0{+}$% первое слагаемое стремится к нулю, и $%\theta(x)\to\frac14$%. При $%x\to+\infty$% первое слагаемое стремится к единице, и $%\theta(x)\to\frac12$%.

ссылка

отвечен 21 Дек '15 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,732
×757
×340
×143
×40

задан
21 Дек '15 15:43

показан
797 раз

обновлен
21 Дек '15 18:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru