Доказать,что A = E + pX ,возможно только при X = 0; Если A принадлежит SLn(Z), O(A) < бесконечности , X принадлежит Mn(Z) , p - простое нечетное число.

Помогите доказать пожалуйста.Насколько я понял O(A) это порядок матрицы, это наименьшая степень,в которую нужно возвести матрицу,чтобы получить единичную матрицу E.При всём этом матрица A имеет определитель 1,поскольку принадлежит SL_n(Z).Как объединить эти факты или есть другой путь?

задан 26 Дек '15 18:46

изменен 26 Дек '15 19:39

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим гомоморфизм $%SL(n,\mathbb Z)$% на $%SL(n,\mathbb Z_p)$%, заменяя каждый из элементов матрицы на класс его вычетов по модулю $%p$%. Ядром этого гомоморфизма будет как раз подгруппа, состоящая из матриц вида $%E+pX$%. Требуется доказать, что в ней нет нетривиальных элементов конечного порядка, если $%p\ge3$%.

Достаточно проверить, что в этой подгруппе нет элементов простого порядка. Рассуждая от противного, предположим, что такой элемент имеется, и представим его в виде $%E+p^kY$%, где $%k\ge1$%, и $%Y$% не кратна $%p$%. Если порядок этого элемента равен простому числу $%n$%, то $%E=(E+p^kY)^n=E+np^kY+C_n^2p^{2k}Y^{2k}+\cdots+p^{nk}Y^{nk}$%. Если $%n\ne p$%, то после сокращения на $%p^k$% получается $%nY+C_n^2p^kY^{2k}+\cdots+p^{(n-1)k}Y^{nk}=0$%, что противоречит нашему предположению, что матрица $%Y$% не кратна $%p$%.

Пусть $%n=p$%. Тогда все биномиальные коэффициенты вида $%C_p^s$% делятся на $%p$% при $%1\le s < p$%. Получается $%p^{k+1}Y+C_p^2p^{2k}Y^2+\cdots+p^{pk}Y^{pk}=0$%. Поскольку $%p > 2$%, второе слагаемое здесь не является последним. Последнее слагаемое кратно $%p^{3k}$%. Слагаемые между первым и последним кратны $%p^{2k+1}$%. Но первое слагаемое кратно только $%p^{k+1}$%, откуда вытекает противоречие.

ссылка

отвечен 26 Дек '15 22:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,158
×866
×234

задан
26 Дек '15 18:46

показан
576 раз

обновлен
26 Дек '15 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru