Найти все монотонные обратимые функции $%f:R\rightarrow R$%, удовлетворяющих тождеству $%f(x)+f^{-1}(x)=2x,x\in R.$%

задан 4 Окт '12 17:18

изменен 29 Окт '12 19:18

Deleted's gravatar image


126

Непрерывность функции следует из условий задачи

(4 Окт '12 20:13) chameleon

То есть запись уравнения предполагает, что обратная функция существует при любых x? Тогда, конечно, f непрерывна.

(5 Окт '12 1:49) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
6

Одно из решений - $%f(x)=x$%. Далее будем рассматривать множество функций, не равных $%x$%, т.е. $%\{f(x):(\exists x_0)f(x_0) \neq x_0\}$%.
$%f(f^{-1}(x))=x$%
$%f(2x-f(x))=x$%
Пусть $%d(x)=x-f(x)$%, тогда $%f(x+d(x))=x; d(x+d(x))=x+d(x)-f(x+d(x))=x+d(x)-x=d(x)$%. Последовательно применяя данные формулы для точек $%x+d(x), x+2d(x), x+3d(x), ...$%, получим: $%f(x+id(x))=f(x)+id(x), i \in \mathbb{Z}$%. Значит, в силу монотонности, функция является возрастающей и ограниченной квадратами, образованных соседними точками $%(x+id(x);f(x)+id(x))$%.
alt text
Допустим, что $%(\exists x_1)|d(x_1)| < |d(x_0)|$%. Тогда, в силу непрерывности функции, $%(\exists x_2)|d(x_1)| < |d(x_2)| < |d(x_0)| \wedge \frac{d(x_2)}{d(x_0)}$% - трансцендентное число. По выведенной ранее формуле, $%f(x_2+jd(x_2))=f(x_2)+jd(x_2), j\in\mathbb{Z}$%. Исходя из трансцендентности $%\frac{d(x_2)}{d(x_0)}$%, $%(\exists i,j\in\mathbb{Z})|(x_2+jd(x_2))-(x_0+id(x_0))| < |d(x_2)-d(x_0)|$%, а при этих значениях точка $%(x_2+jd(x_2);f(x_2)+jd(x_2))$% не попадает в ограничения для $%x_0$%. Следовательно, допущение неверно, следовательно $%(\forall x_1)|d(x_1)| \geq |d(x_0)|$%.
Аналогичными рассуждениями доказывается утверждение $%(\forall x_1)|d(x_1)| \leq |d(x_0)|$%. Следовательно, $%|d(x)|=const$%
$%|x-f(x)|=const$%
$%f(x)=x+C$%

ссылка

отвечен 5 Окт '12 0:22

изменен 5 Окт '12 20:16

DocentI's gravatar image


9.8k937

Ужасающая задачка! Понял, какой у нее ответ меньше чем за минуту, а на доказательство ушло 7 часов! И то не до конца уверен, что доказал достаточно формально...
В общем, кому моя писанина покажется бредом, нарисуйте на листике графики функций $%y=f(x), y=f^{-1}(x), y=x$%, отметьте на нем семейства точек вида $%(x+id(x);f(x)+id(x))$%, и всё станет на свои места.

(5 Окт '12 0:29) chameleon

Да нет, не кажется бредом. Указанные Вами точки "возникают" практически сразу, когда начинаешь думать над задачей. Вот доказательство того, что d(x)постоянно - гораздо сложнее. Не очень понятно у Вас выражение "не попадает в ограничения для x0" - какие именно?

(5 Окт '12 2:01) DocentI
(5 Окт '12 2:50) chameleon

Замечательно!

(5 Окт '12 9:44) Anatoliy

@DocentI, спасибо, что вставили рисунок ^^

(5 Окт '12 20:15) chameleon

Рисунок красивый! Я его немного уменьшила. У Вас, наверное, уже достаточно баллов, чтобы самому их вставлять?

(5 Окт '12 20:17) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×752

задан
4 Окт '12 17:18

показан
656 раз

обновлен
29 Окт '12 19:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru