Если K и L  конечные множества точек плоскости, состоящие из одинакового числа точек, то их дополнения гомеоморфны?

задан 4 Окт '12 22:21

изменен 4 Окт '12 22:25

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Очевидно, да. Но вот как это доказать...

(5 Окт '12 0:44) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Предложу эскиз доказательства. Проведем на плоскости прямую так, чтобы проекции на нее всех заданных точек были различными. "Деформируем" плоскость так, чтобы заданные точки перешли в свои проекции. Думаю, можно достаточно точно описать соответствующее преобразование.

Затем сделаем преобразование плоскости "вдоль прямой" так, чтобы точки оказались друг от друга на расстоянии 1. Итак, обе плоскости геомеоморфны плоскости с выколотыми точками (1, 0), (2, 0), ... (n, 0), а значит, гемеоморфны между собой.

ссылка

отвечен 5 Окт '12 12:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Плоскость гомеоморфна сфере с выколотой точкой. Дополнения к каждому множеству - две такие сферы с одинаковым количеством выколотых точек. Такие сферы, очевидно, гомеоморфны.

ссылка

отвечен 5 Окт '12 9:56

изменен 5 Окт '12 21:00

Очевидное как раз труднее всего доказывать. Впрочем, все зависит от требований, которые предъявляет к доказательству @Riemann (хороший, кстати, ник! ))) )

(5 Окт '12 12:03) DocentI

Вы, наверное, хотели сказать "плоскость геомеоморфна сфере с выколотой точкой"?

(5 Окт '12 12:05) DocentI

У меня это было. Но, я посмотрел стереографическую проекцию, там речь шла о гомеоморфизме сплошной сферы и плоскости. В принципе это, кажется, не влияет на гомеоморфность в этой задаче. См. также Гомеоморфизм

(5 Окт '12 13:07) Anatoliy

В этой задаче - конечно, нет, так как обе плоскости представляются одинаково. Впрочем, стереографическая проекция показывает, что плоскость геомеоморфна сфере с выколотой точкой. Если она же гомеоморфна "целой" сфере, то выколотые точки можно "убирать" со сферы. Это неверно.
В приведенной Вами ссылке мне не понравились слова

в силу непрерывности биекции, образы и прообразы отображения являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств

Что такое "образы и прообразы отображения"? (Про)образы бывают у множеств!

(5 Окт '12 19:57) DocentI

Дело серьезное.

(5 Окт '12 20:11) Anatoliy

Думаю, я не смогу "с наскока" доказать, что сфера с выколотой точкой и "целая" не гомеоморфны, хотя это представляется "очевидным".

(5 Окт '12 20:29) DocentI

Я думаю, что это так. Сплошную сферу невозможно растянуть в "блин". Мне надо было в решении оставить сферу с выколотой точкой. Исправлю. Вот одно меня тревожит, что совершенно не напрягается студент Риман.

(5 Окт '12 20:59) Anatoliy
1

А что тут напрягаться? Ответ к вопросу уже есть.

(5 Окт '12 21:02) chameleon
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98
×4

задан
4 Окт '12 22:21

показан
758 раз

обновлен
5 Окт '12 21:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru