аналитическая-геометрия - Как выводится формула скалярного произведения векторов?

Запишем векторы $$ \overrightarrow{a} =(x_1,y_1,z_1) ; \overrightarrow{b} =(x_2,y_2,z_2)$$ в виде разложения по базису , состоящему из единичных векторов $$ \overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} ,\overrightarrow{k} $$, т.е. получим равенства $$ \overrightarrow{a} =x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ; \overrightarrow{b} =x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k} $$ ; Находим скалярное произведение $$ (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ) (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}) $$ ; Раскрываем скобки как с обычным произведением. Это позволяют сделать свойства скалярного произведения. Появятся скалярные произведения орт. Напомним, что эти произведения равны нулю для разных орт и единице для одинаковых. Например, $$\overrightarrow{i}\overrightarrow{i}=1, \overrightarrow{i}\overrightarrow{j}=0$$ Последнее равенство верно потому, что орты лежат на координатных осях и перпендикулярны друг другу. Из теории известно, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Первое равенство вытекает из определения скалярного произведения $$\overrightarrow{i}\overrightarrow{i}=|\overrightarrow{i}| |\overrightarrow{i}| cos(0^0)=1$$ Вернемся к произведению $$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =(x_1 \overrightarrow{i}+y_1 \overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} ) (x_2 \overrightarrow{i}+y_2 \overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k})$$Когда раскроем скобки , то разные орты в произведении дадут нули, а одинаковые орты будут вместе с произведением одноименных проекций. В итоге получаем $$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ) =x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3$$